图1  新莽铜嘉量

如果说栗氏量只有一段并不详尽的文字记载，刘歆却在它的基础上经过再创造，实实在在地制造出一件旷世佳作。新莽铜嘉量有十分详尽的刻铭:斛量正面器壁上刻81字诏文(见图2)，大意是:唐尧、虞舜的美德传到莽，建立了新朝。统一了律度量衡，故昭告天下，万世永遵，享传亿年。背面又在五个单独量的外壁上加刻每一量器的直径、深度及计算容积，总共二百四十多字。在文博学家们眼里，古代器物上的刻铭，字字千金。而新莽铜嘉量上，不但刻铭详尽，而且包含着深邃的科技含量，其价值该有多大啊!那么我们就来看看新莽铜嘉量是如何既继承古制，又有创新的。

①关于其形

栗氏量集升、豆、鬴三量于一器，并简要说明了器的尺度、容积以及重一钧。新莽铜嘉量则是集龠、合、升、斗、斛五量，每一量都有详尽的尺寸及计算容积。《汉书·律历志》另注明“重二钧”。②关于“内方尺而圜其外”与嘉量的“庣旁”栗氏量记:“内方尺而圜其外，其实一鬴，”嘉量刻铭:“方尺而圜其外，庣(tiao)旁九厘五毫。……容十斗。”栗氏量与新莽铜嘉量皆采用先取一正方形，每边长一尺，在正方形外作圆。但栗氏量所用的尺是多长，一鬴的容积是多少，都已无法知道了。而嘉量度量衡三个量的量值必须体现汉代的实际情况:一尺是23.1厘米，一斛之积是1620立方寸。要满足一斛之积是1620立方寸，圆面积就必须是162平方寸，如果圆的大小是方一尺作外接圆，那么实际计算所得的圆面积就是157平方寸，比所要求的少了5平方寸。如何做到既要与栗氏量“方尺而圆其外”的提法相同，又能保证圆面积达到162平方寸呢？这一点确实是一个很大的难题。刘歆不但是一位古文经学大师，而且还精通律历学，对数学也有很深的造诣，他想，只要把圆径加大五平方寸，圆面积不就加大了吗。在他的苦苦寻求下，又经过反复运算，终于提出了一个最佳方案，即在正方形的对角线两端各加上9厘5毫，就能与162平方寸相符了。刘歆还为这个“九厘五毫”专门取了一个特殊的名字“庣旁”。这个方法真是太巧妙了，这时刘歆才大大地松了一口气，同时也为自己的创造感到非常满意。③关于黄钟律栗氏量又说:“声中黄钟之宫”，我们再来看看嘉量的刻铭是如何与它相对应的吧？嘉量每一器分铭前都加有一个“律”字，如律嘉量斛、律嘉量斗等。律嘉量龠铭文说得更具体:“积八百一十分，容如黄钟”。二者说法虽不完全相同，但其承传关系却十分清楚。关于“声中黄钟之宫”，当然不是说敲击栗氏量发出的声音，与黄钟律之宫音相合。刘歆根据他的理解，认为应该是“栗氏量尺”与黄钟律管的长度有某种内在的联系。最后提出了以黄钟律管、累黍定度量衡的理论。这一理论的提出，在中国度量衡史上影响极大，以致其后为此研究、讨论了1000多年。关于黄钟、累黍定度量衡，已有许多文章做过论述，这里不再展开。古代的量器，很难达到较高的精确度，故有“以度数审其容”之说。新莽嘉量就是一件以尺度来计算容积的高科技产品。嘉量铭文:“冥(幂)百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”嘉量各器都是圆筒形，要计算它们的容积，就要牵涉圆周率的问题。刘歆用的是什么圆周率呢？可惜铭文没有提到，他使用的圆周率及求圆周率的方法，就成了千古之谜。在其后二百多年的三国魏时，数学家刘徽最早对新莽铜嘉量刻铭中的计算容积作了研究。他认为刘歆在设计嘉量时，对庣旁的设置已精确到了厘毫，在计算容积时，是不会使用《周髀算经》里说的“径一周三”这样粗略圆周率的。但是他究竟用的是什么圆周率呢？刘徽为了对新莽铜嘉量作考校，经过反复研究，终于发明了用割圆术来求圆周率，再经过无数次运算，得到圆周率是3.14，为此他成为中国运用正确方法求圆周率的首创者。紧接着又以他求得的圆周率去核算嘉量的圆面积，得到的数值为“幂一百六十一寸有奇”，即不到162寸。可惜他没有再作更进一步的探讨。在刘徽之后的200多年，即南北朝时期。有一天，数学家祖冲之在皇宫中见到这件新莽铜嘉量，他十分兴奋，大为惊叹道，铭文刻得如此详尽，真是了不起。祖冲之毕竟是一位数学家，立刻想到这件嘉量计算精确的程度如何?自己为何不按照器壁上刻的铭文亲自验算一下呢。要计算斛的容积，第一步先算出它的直径，即一尺正方形对角线长为寸，庣旁九厘五毫(0.095寸)，圆面积的直径为14.1421356+2×0.095=14.3321356寸，铜斛的半径是7.166寸，圆面积即铭文中所说162平方寸，祖冲之模拟了一下刘歆的计算过程，推算出刘歆所用的圆周率是162方寸÷(7.166寸)²=3.1547。祖冲之推算出刘歆的圆周率后，十分赞赏，因为在刘歆所处的西汉末年，最著名的数学书《周髀算经》里说的是“径一周三”。就是说，圆周是直径的三倍，如果直径是一尺，圆周率就是三尺。圆周率是3，而刘歆所用的圆周率却是3.1547，比起“径一周三”的算法进步很多。这提起了祖冲之更大的兴趣。祖冲之知道，刘徽在刘歆之后已采用了割圆术计算出圆周率是3.14。刘徽这种方法是有正确的理论作指导的，对这一点祖冲之深信不疑，同时也是心悦诚服的。但是，刘徽只取了小数点后两位数，把后面几位数舍弃了。祖冲之觉得，如果不算出更精确的圆周率，也就没有办法更进一步精确地校核嘉量的计算容积。于是决心按照这一方法继续计算下去。为此祖冲之把自己的小书房重新翻修，把地板刨得十分光滑。祖冲之的儿子祖暅(gèng)看到后，不解地问道:“您这是要做什么呀?”祖冲之回答说:“我想计算出比刘徽更精确的圆周率。”祖暅在父亲的影响下，也对数学很感兴趣，十分高兴地说:“我来做您的帮手吧。”祖冲之高兴地点头答应了。祖冲之和儿子一起，在书房的地上画了一个直径为一丈的大圆，开始了艰苦的计算。刘徽算到96边形就停止了，而祖冲之则算到12288边形才停下来。为此祖冲之父子几乎是废寝忘食、夜以继日，无数次耗尽灯油。终于得出比刘徽更精确的圆周率，即:如果直径是1，圆周大于3.1415926，小于3.1415927。这个结论，用现代数学符号表示:3.1415926<π<3.1415927。祖冲之当时也并不知道，他已成为全世界最早把圆周率精确地计算到小数点后七位数的第一人。祖冲之求得了这个精确的圆周率后，再去校验嘉量上的刻铭，终于发现刘歆的计算还是不够精确，他指出:嘉量圆面积设计162平方寸，按圆周率是3.1415926计算，半径是7.180965寸，直径是14.36193寸有余，这样，庣旁就不是铭文所说的九厘五毫，而正确的庣旁应该是一分九毫有余，刘歆庣旁比理论值少了一厘四毫有余。他再用这个数字和自己求得的圆周率去计算嘉量的容积，果然得到1620立方寸。刘歆设计制造了这样一件量器，甚至影响到数学上重大成果的取得，这是连他自己也不会想到的。历代对新莽铜嘉量都给予了极大的关注，唐宋时尽管仍不断有学者对它做过讨论、研究，但都怀疑实物是否还存在？元、明两代四百年间，也未见有新莽铜嘉量的下落。到了清朝乾隆初年，新莽铜嘉量被发现藏于内府，乾隆皇帝对它给予了极大的关注，并参照新莽铜嘉量设计制造了三圆一方乾隆嘉量，把方、圆两件分别陈设在乾清宫和太和殿前亭屋内，以象征清廷的法度与至高无上的权力。1924年，紫禁城被改造筹建为故宫博物院，在清点文物时发现了这件珍品，再次引起学术界的关注，随后马衡、王国维、刘复等相继对它作了研究、考证，对这件旷世瑰宝在历史、科学技术、数学、度量衡等方面所起的作用给予了高度评价。刘复受当时任博物院院长马衡先生的重托，对嘉量作了十分精细的测量，并写了《新嘉量之校测与推算》一文，详细记述了测量方法及推算经过，最后求得新莽时一尺长23.1厘米、一升容200毫升、一斤重226.7克。新莽铜嘉量在其后的两千年，不断引起后世如此多的关注，在世界度量衡史上也是绝无仅有的。如今，这件国之瑰宝仍保存良好，珍藏于台湾故宫博物院。