一、测量误差的概念及分类

测量误差的定义为：“测得的量值减去参考量值”。其中，测得的量值也可称为测得值，是表示测量结果的量值。参考量值也可称为参考值，可以是被测量的真值；可以是给定的一个约定量值（即约定真值）；可以是具有可忽略测量不确定度的测量标准赋予的量值（简称标准量值）。

测量误差是由随机误差和系统误差构成的，这两类分量都各有其误差值（带有正或负的符号），它们的代数和构成了测量误差。

随机误差的定义为：“在重复测量时按不可预见的方式变化的测量误差的分量”。其特点是,当测量次数趋于无穷大时，随机误差的数学期望趋于零。随机误差等于测量误差减去系统误差。

系统误差定义为：“在重复测量时保持恒定不变或按可预见的方式变化的测量误差分量”。其特点是，测量误差的数学期望即为系统误差。系统误差等于测量误差减去随机误差。

从随机误差引出残差的概念，将“测量列中的一个测得值与该测量列算术平均值之差”称为残差。

此时，随机误差的最佳估计值就是残差。残差又称为残余误差或剩余误差，是指测量列中的一个测得值与该测量列算术平均值之差。

残差是计算实验标准偏差和测量不确定度的必不可少的参数。残差有两个特性：一是测量列中n个残差的代数和等于零；二是测量列中n个残差的平方和为最小。因而，实际应用中，一般都是用测得值减去算术平均值所得值作为随机误差的最佳估计值。

修正值是指：以代数法相加于未修正测得量值，以补偿系统误差的值。因此，修正值等于负的系统误差。修正因子是指：为补偿系统误差而对未修正测得量值相乘的数字因子。

修正后的测量结果中，由系统效应引起的系统误差的数学期望为零。

研究随机误差的关键是掌握残差的特性和应用方法，正确运用残差计算实验标准偏差和测量不确定度。因为实验标准偏差是残差平方和除以自由度所得之商的平方根，即没有残差就无法计算实验标准偏差。

研究系统误差的关键是掌握如何确定系统误差的常数，并将其作为修正值以补偿或减少误差的影响。因为修正值等于负的系统误差，如果不能确定系统误差的常数，而只是作一般的分析和评定是没有任何实际意义的。测量误差理论是测量不确定度评定的理论基础。

二、概率论的基本知识

为了在数学上把某一事件出现的可能性表示出来，就需要联系到概率的概念。设随机事件在次试验中发生了次，则其比值称为随机事件的频率，记作。                              

由随机事件的频率稳定性可以看出，随机事件发生的可能性可以用一个数值来表示，这个数值就是概率，其定义为：将表示随机事件在试验中发生的可能性程度的，小于1的正数叫做随机事件的概率。

当实验次数无穷大时，随机事件发生频率的极限值就是概率。

频率是实验次数有限时定义的，概率是实验次数无穷大时定义的。当实验次数有限时，可以用频率来代替概率；当实验次数无穷大时，频率和概率就是一回事。

为了研究连续型随机变量的理论分布，进而引进随机变量的分布函数概念和概率分布密度的概念。随机变量的概率密度等于分布函数的导数，即分布函数是分布密度的原函数。

随机变量的概率随取值而变化的规律称为随机变量的概率分布，而概率分布可用概率分布密度函数来描述，概率分布密度函数的图形通常叫做分布曲线，通过分布曲线的分析，可以得出概率分布的相关性质。常用随机变量的概率分布主要有正态分布、均匀分布、三角分布、t分布等。

正态分布密度函数是一个指数方程式，一般称为高斯方程式或高斯分布。在测量实践中，均匀分布也是常见的一种分布，其特点是在误差范围内，误差出现的概率各处相同。因此，均匀分布又称为矩形分布或等概率分布。

当随机变量的取值服从某分布时，落在某区间的概率即为置信概率。在不确定度评定中，置信概率又称为包含概率，是指在扩展不确定度确定的测量结果的区间内，合理地赋予被测量之值分布的概率

测得量值的数学期望是指对同一个被测量进行无穷多次重复测量所得算术平均值的极限。                  

为了判定随机变量的各观测值相对平均值的离散程度，可用离差平方的数学期望作为随机变量的另一个数字特征。一般习惯上称其为随机变量的方差。

概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理称为大数定律。大数定律的内容是：当测量次数无穷大时，可用算术平均值代替数学期望，即在这种情况下，算术平均值和数学期望是一回事；当测量次数无穷大时，可用频率代替概率，即在这种情况下，频率和概率是一回事。

中心极限定理的内容是：大量的独立随机变量之和，具有近似于正态的分布。

三、随机误差的分布与估计

随机误差是一种由多种随机因素的影响而产生的不确定性误差，而不确定性误差是以不确定度表征的误差。

随机误差服从于正态分布，其随机误差取各可能值的概率大小，可用正态分布密度函数表示，通过对正态分布曲线的分析，可以总结出随机误差的以下四个特征：

1.绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。

2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。

3.在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限。

4.随着测量次数的增加随机误差的算术平均值趋于零。

可以看出，在正态分布密度函数中，有两个非常重要的参数，就是数学期望和标准偏差。它是测量误差的数字特征，也是测量不确定度评定的理论基础。

算术平均值是指重复测量的全部测得量值的代数和除以测量次数所得之值。在实际测量中，用算术平均值来表征测得量值的最佳估计值。

对误差值而言，如误差值的数学期望不为零，说明有系统误差存在；如误差值的数学期望为零，说明无系统误差存在。

标准偏差是表征测量结果分散性的重要参数，采用贝塞尔公式可计算出标准偏差的值。可以看出，通过测量误差引出了算术平均值，通过算术平均值引出了残差和自由度，进而引出了实验标准偏差，实验标准偏差用来表征对同一被测量作n次测量结果的分散性。而表征合理地赋予被测量之值的分散性，又与测量结果相联系的参数就是测量不确定度。因此，实验标准偏差是测量不确定度评定的重要参数，也是测量不确定度评定的理论基础。

在n次独立的测量中，取n次测量值算术平均值作为测量结果，要比取一次值可靠倍。即n次测得量值的算术平均值的标准偏差与成反比。

应强调指出，无论是总体标准偏差还是实验标准偏差，都不是一个具体的误差。它的数值大小只不过说明在一定条件下进行一系列测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。值小则表明测得量值比较集中，值大则表明测得量值比较分散。

所以在测量中，用算术平均值作为测得量值的最佳估计值，用实验标准偏差表征测得量值的分散程度。

四、系统误差的发现与消除

要正确理解系统误差。在测量过程中所产生的误差，如果它们的数值是保持恒定不变或按可预见的方式变化的，那么就称这种误差为系统误差。可以看出，系统误差的出现一般是有规律的，其产生的原因往往是可预知或可掌握的。一般来说，应尽可能设法预见到各种系统误差的来源并设法消除其影响；同时还要设法确定或估计系统误差恒定不变的常数，将其作为修正值在测量结果中加以修正。

要搞清楚系统误差的来源。由于系统误差不可能通过对测量数据的概率统计方法来发现和消除，因而就会严重影响其测量结果。因此，在测量前一定设法了解一切可能产生系统误差的来源并设法消除它，使其影响能减弱到可以忽略的程度。所以应了解系统误差的来源，系统误差的来源主要有以下四个方面：测量仪器引起的系统误差；环境条件引起的系统误差；测量人员引起的系统误差；测量方法引起的系统误差。

对于测量者来说，应尽可能地设法预见各种系统误差的具体来源，并极力设法消除它的影响，其次是设法确定或估计出能消除的系统误差之值。

最终要掌握系统误差的减小和修正方法。主要方法有：从测量仪器的设计上减小系统误差的影响；从测量仪器的工艺上减小系统误差的影响；从测量仪器的使用上减小系统误差的影响；从测量方法的选择上减小系统误差的影响。在实际测量中，可以通过选择正确的测量方法来减小系统误差的影响。常用的减小系统误差的方法有代替法、异号法、抵消法、交换法等。

修正值等于负的系统误差。因此，当测得量值与相应的标准量值比较时，测得量值与标准量值的差值为测得量值系统误差的估计值。

因为修正值的本身也存在一定误差，因此用修正值消除系统误差的方法，不可能将全部系统误差修正掉。

五、测量结果的数据处理

测量结果的数据处理是指获得测得量值后对数据的处理方式，即如何用算术平均值作为被测量的最佳估计值，如何用实验标准偏差表征测量结果的分散性，如何剔出异常值，如何处理有效数字和进行数字修约等。

测量结果中的异常值是由测量过程中的粗大误差所引起的，其数值比较大，所产生的原因往往是由于测量者的粗心大意，或测量过程中不可重复的突发事件造成的，其对测量结果有明显的歪曲，应予及时发现将其剔除。

一般地说，随机误差按照正态分布的规律出现，在分布中心附近出现的机会最多，在远离分布中心处出现的机会最少。根据这种情况，如果在实际测量中有一个远离分布中心的数值，即可判断此数值是属于异常值应予剔除，异常值的判断准则就是跟据这个总的原则确定的。异常值的判断准则有：莱以特准则、肖维勒准则和格拉布斯准则。

测量结果数字位数的确定，称为测量结果的有效数字处理。所谓有效数字是指在一个数中，从左边第一个非零数字开始直到最右边的正确数字，都叫这个数的有效数字。对某一数字，根据保留位数的要求，将多余位数的数字按照一定规则进行取舍，这一过程称为数字修约。

一般为了保持测量结果的准确度，根据测量结果的不确定度，当有效数字的位数确定后，其后的数字应一律舍去，最后一位有效数字，则按通用数字修约规则进行修约。

通用数字修约规则为：以保留数字的末位为单位，末位后的数字大于0.5者末位进一；末位后的数字小于0.5者末位不变；末位后的数字恰为0.5者，使末位成为偶数，即当末位为偶数时则末位不变；当末位为奇数时则末位进一。

所谓等精度测量是指对某一量的测量，是在恒定的测量条件下进行的。即在整个测量过程中，所使用的测量仪器、环境条件，以及测量者都没有变化。

所谓不等精度测量是指对某一量的测量，在不同的条件下，不同的测量方法，不同的测量仪器，不同的测量次数，以及不同的测量人员进行的，其目的是为了得到较高准确度的测量结果。在不等精度测量结果的处理时，就不能把各种条件下所得到的结果以算术平均值作为它的可靠值，因为此时它们不仅是在各种不同条件下得到的各组不同值，而且它们的准确度各不相同。

在被测量的数目较多情况下，为了以较少的测量次数达到较高的测量准确度，常常采用组合测量的方法。组合测量可以这样理解，若同时有若干个同名的被测量，但不是直接测量它们而是直接测量由其组成的不同方程组成的某一些量，然后解此方程组以求得各被测量，这样组合的过程称为组合测量。

最小二乘法原理说：在等精度测量中，从一组测得值所确定代替真值的最佳估计值，是能使各测得值与它偏差值的平方和为最小的那个值。

因而可得：在等精度测量条件下，测得值的算术平均值是符合最小二乘法原理的最佳值，而它残差的平方和也必然为最小。如果反过来说，如果它的残差平方和为最小，那么在该条件下所得的值也是最佳估计值。

六、测量不确定度的概念及术语

根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数称为测量不确定度。测量不确定度可理解为，是用实验标准偏差、或实验标准偏差的倍数、或说明了包含概率的区间半宽度，来表征被测量量值的分散程度。

不确定度的定量评定只是一种估计，用来表征被测量值所处的范围，是对测得量值可靠程度的一种评定：不确定度愈大，测得量值愈远离真值，表示测得量值不可靠；不确定度愈小，测得量值愈接近真值，表示测得量值可靠，其准确度高。

测量不确定度的A类评定是指用统计分析的方法获得的分量，并用实验标准偏差表征；测量不确定度的B类评定是指用其他方法获得的分量，也用实验标准偏差表征，根据经验或其他信息的概率密度函数评定。

用标准偏差表示的测量不确定度称为标准不确定度。由测量模型中各输入量有关的标准测量不确定度获得的标准测量不确定度称为合成标准不确定度。合成标准不确定度与一个大于1的数的因子的乘积称为扩展不确定度。

包含区间是说明了概率的一组被测量真值所包含的区间。包含概率是指在包含区间内包含一组被测量真值的概率。包含因子是指对合成标准不确定度所乘的大于1的数。

由于被测量定义中细节的有限说明所产生的测量不确定度分量称为定义的不确定度。根据测量结果的预期用途确定和规定的测量不确定度上限称为目标不确定度。由所用测量仪器或测量系统引起的测量不确定度的分量称为仪器的不确定度。

准确度是定性说明测量结果中随机误差和系统误差的综合，即测得量值即不偏离真值，测得量值之间又不分散的程度。正确度是定性说明测得量值中系统误差大小的程度，即数学期望和参考量值之间的一致程度。精密度是定量表示测量结果中随机误差大小的程度，反映了被测量的测得量值间的符合程度。

最大允许误差是指由给定测量、测量仪器或测量系统的规范或规程所允许的，相对于已知参考量值的测量误差的极限值。最大允许误差是针对某一个测量区间，仪器不确定度是针对某一个量值；最大允许误差给出的是测量误差的极限值，仪器不确定度给出的是量值分散性的实际值；最大允许误差是人为事先在技术规范中的规定，仪器不确定度可以人为事先确定也可以通过事后对仪器校准所获得。

测量仪器最大允许误差与目标不确定度都是事先规定的测量误差的极限值或不确定度的上限值。可以从最大允许误差或最大允许不确定度，以及误差限或不确定度上限的角度来理解。如果目标不确定度的目标是针对测量仪器，即对测量仪器的不确定度规定了一个上限值或规定了若干个上限值，那么目标不确定度和仪器不确定度就有相同的含义。

七、测量模型与测量函数

测量模型和测量函数是测量不确定度评定过程中的两个重要数学概念。

测量模型是指测量所包含的全部已知量之间的数学关系，其通用形式是方程。测量模型是用于计算被测量估计值的数学公式。

测量函数是指：当用测量模型中输入量的已知量值计算的值是测量模型中输出量的测得值时，各量的函数关系。测量函数是用于计算被测量估计值不确定度的数学公式。

在实际测量中，当被测量确定后，就要根据被测量的定义，给出被测量的具体计算公式。被测量的计算公式明确给出了所有输入量的估计值和被测量估计值之间的数学关系，只要测量出各输入量的量值后，代入到计算公式中即可计算出被测量的估计值。因此，当被测量确定后，被测量的测量模型是指被测量的数学表达式，即被测量估计值的计算公式。

当被测量确定后，要根据被测量的计算公式和被测量估计值不确定度的测量函数，给出被测量估计值不确定度的计算公式，将各个其他输入量估计值的标准不确定度的值和相应的灵敏系数值代入公式便可计算出被测量估计值不确定度的值。

建立被测量的测量模型，首先要确定被测量，当被测量确定后，就要根据被测量的定义，给出被测量的具体计算公式。因此，被测量的测量模型就是指被测量的计算公式。只要确定了被测量的计算公式，就可以很方便地建立被测量估计值不确定度的测量函数。因为被测量估计值不确定度的测量函数，是建立在被测量估计值计算公式的基础上。

在建立测量不确定度测量函数的过程中，如有数据表明，没有将测量过程模型化至测量所要求的准确度。即在测量中对各个其他输入量的不确定度分量考虑的还不够全面，遗漏了对测量结果不确定度有显著影响的其他影响量。在这种情况下，则必须在测量函数中增加新的其他影响量，直至满足测量结果不确定度的评定要求。

在测量不确定度的评定中，分析和确定不确定的来源十分重要。因为不确定度来源不清楚，就无法评定测量不确定度。在分析测量不确定度来源时，原则上是可以说应从设备、人员、环境、方法及被测对象几个方面考虑，不可遗漏，也不可重复。但这不是一种简单实用的方法，因为缺乏可操作性。

在测量函数中，有多少个输入量就有多少个不确定度来源，也就有多少个标准不确定度。当被测量确定后，被测量估计值不确定度的计算公式也就确定了，根据公式就可以得到不确定度来源的具体内容，并依次将其列出。如果遗漏了对测量结果不确定度有显著影响的其他影响量，可在测量函数中增加新的其他影响量，直至满足测量结果不确定度的评定要求。

 八、测量不确定度的评定方法

在测量不确定度的评定时，首先要确定被测量的最佳估计值。被测量的最佳估计值确定后，就要评定各输入量的标准不确定度，其评定方法可采用A类评定和B类评定。再计算合成标准不确定度，评定扩展不确定度，最后给出测量不确定度报告。

基本方法是指用贝塞尔公式计算实验标准偏差。即以算术平均值作为测得量值的最佳估计值，以算术平均值的实验标准偏差作为测得量值的标准不确定度，即A类评定的标准不确定度。

测量不确定度的B类评定，是指用不同于统计分析方法的其他方法评定的分量，并同样用实验标准偏差来表征。

测量不确定度B类评定的基本方法是，根据对被测分量估计值所提供信息的分析，确定被测分量估计值之值分散区间的半宽及其包含因子，根据公式计算出标准不确定度分量的估计值。

被测分量估计值之值分散区间的半宽，可以是扩展不确定度、仪器不确定度、测量仪器的最大允许误差，或其他与被测分量有关的误差极限值。被测分量的包含因子，可以根据被测分量的分布类型确定。可见，标准不确定度B类评定的关键，一是如何确定被测分量估计值分散区间的半宽；二是如何确定其包含因子。

在对被测分量的概率分布无法估计时，可以采用假设概率分布的方法。优先假设为均匀分布，其次假设为正态分布。当假设概率分布为正态分布时，其包含因子在2~3中选择。一般情况下，假设概率分布法是测量不确定度B类评定中一个比较实用的方法。

在合成标准不确定度之前，应确保所有不确定度分量均用标准不确定度表示，如果存在用其他形式表示的不确定度分量，则应将其变换为标准不确定度。

合成标准不确定度时应考虑各输入量间的相关性。按被测量估计值测量不确定度的测量函数导出的计算公式进行合成计算，必要时考虑协方差。

扩展不确定度是指合成标准不确定度与包含因子的乘积。扩展不确定度是被测量的可能值包含区间的半宽度。扩展不确定度分为和两种。在给出测量结果时，一般情况下应报告扩展不确定度。

当合成标准不确定度的概率分布近似为正态分布，且其有效自由度比较大时，或合成标准不确定度的有效自由度无法得到时，或扩展不确定度没有包含概率要求时，k值一般取2~3，在大多数情况下取k=2，当取其他值时，应说明其来源。如有包含概率的要求则应合理选择包含因子。

完整的测量结果含有两个基本量，一是被测量的估计值；二是被测量估计值的测量不确定度。

扩展不确定度的通用报告形式：依次给出被测量的符号及测得量值，扩展不确定度的符号及量值，包含因子的符号及量值。           

九、产品检验测量不确定度与合格评定

涉及产品检验测量不确定度评定方法，以及考虑测量不确定度因素的合格评定方法。

测量不确定度适用于各种测量领域，是用于表征被测量值分散性的参数。因此，所有参数测量结果都应给出被测量的量值和测量不确定度，可用GUM进行评定。

检定、校准和检测的共同点是参数测量，其核心是通过参数测量实现预期目的。可以说参数测量是所有检定、校准、测试、检验、检测、检疫的基本要素和通用技术手段，检定、校准、测试、检验、检测、检疫等都是测量的一种特定形式，其相应的测量能力都用测量不确定度表述。

在产品标准中，一是规定产品的技术要求；二是规定产品的试验方法。规定的技术要求主要包括定量要求和定性要求：定量要求是指通过可测量的数值来表示的要求；定性要求是指其他要求，如产品的外观、结构、号型、功能、标志、标识、包装、运输等要求。因此，产品检验结果的不确定度评定只针对有定量要求的产品特性参数。在对给定产品进行检验时，根据产品标准的规定技术要求，对产品质量影响较大而又需要测量的特性参数评定测量不确定度。

产品质量检验结果的不确定度评定，并不是对产品质量最终检验结果的评定，而是对产品标准规定的一组参数测量结果不确定度的评定。即产品质量检验是一组参数测量的过程，每一个参数测量都应给出测得值和相应的测量不确定度。产品质量的参数是由物理量、化学量以及其他可测量组成。

在合格评定中应考虑测量不确定度的影响。如应根据被测量的量值及其测量不确定度来判定产品是否合格。产品合格的判定依据是产品标准，标准中一般给出由下限值和上限值组成的允许区间，或只给出下限值，或只给出上限值。

当测量结果位于被测量的允许区间内，或小于等于上限值，或大于等于下限值时，则判定检验合格。

当测量结果位于被测量的允许区间之外，或大于上限，或小于下限时，则判定检验不合格。

十、测量不定度的应用

将可以忽略的误差和不确定度分量称为微小误差和微小不确定度。

微小误差含微小确定性系统误差和微小不确定度，其中微小确定性系统误差的准则为“十分之一”准则；微小不确定准则为“三分之一”准则。

在实际测量工作中，经常会根据合成标准不确定度来确定各标准不确定度分量，这类问题就称为测量不确定度分配。例如在制定测量方案时，在已明确测量结果的目标不确定度，即已给出测量结果不确定度的上限，如何确定来源于各个方面的标准不确定度分量的允许上限。又如在设计和制造测量仪器时，为保证测量仪器的最大允许误差或目标不确定度在允许范围内，对测量仪器各组成部分应提出怎样的要求。诸如此类的问题都属于不确定度分配问题。

根据被测量允许误差来选择测量仪器是一种最常用的通用方法。该方法是指，测量时要使被测量的允许误差等于3～10倍的测量仪器的最大允许误差或仪器不确定度。

在实际测量过程中，如何合理选择测量次数十分重要，可以从单次测量的实验标准偏差与测量列算术平均值的实验标准偏差的关系上来选择测量次数。

在实际测量过程中，间接测量必不可少。间接测量的值是各独立直接测量值的函数，因此在数据处理时要根据函数误差计算原则进行。而间接测量必然涉及到函数计算公式，有时会有不同的计算公式可选择。可以通过不同计算公式得到的合成标不确定度的结果，选择最佳计算公式。

详细内容可参考由中国质检出版社和中国标准出版社联合出版的（测量误差与不确定度评定），耿维明编著。