测量不确定度理解与应用(六)

关于测量不确定度的基本概念（续）

讲授人：中国计量科学研究院研究员 倪育才

  　　测量结果的不确定度的定义为:
    　　表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
    　　注:1.此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
　　2.测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征。
　　3.测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的(如，与修正值和参考测量标准有关的)分量。
　　首先要注意定义中“被测量之值”这一说法的含义。一般说来，“被测量之值”可以理解为被测量的真值，但在这里不能直接将“被测量之值”理解为“真值”，因为“真值的分散性”的说法无法理解。由于JJF1001-1998中给出“测量结果”的定义为:由测量所得到的赋予被测量的值，将两者进行比较可以发现这里的“被测量之值”似乎应该可以理解为“测量结果”，但它与我们通过测量所得到的“测量结果”仍有差别。在对被测量进行测量时，最后给出一个测量结果，它是被测量的最佳估计值(可能是单次测量的结果，也可能是重复性条件下多次测量的平均值)。而这里“被测量之值”应理解为许多个测量结果，其中不仅包括通过测量得到的测量结果，还应包括测量中没有得到但又是可能出现的测量结果。例如，用一台电压表测量某一电压，且电压表读数不加修正值，若对于该测量点电压表的最大允许误差为±1V，用该电压表进行了20次重复测量，则该20个读数的平均值就是测量结果，还可以由它们得到测量结果的分散性。但“被测量之值”的分散性就不同了，它除了包括测量结果的分散性外，还应包括在受控范围内改变测量条件(例如温度)所可能得到的测量结果，当电压表的示值误差在最大允许误差范围内变化时所可能得到的测量结果，以及所有系统效应对测量结果的影响。由于后者不可能在“测量结果的分散性”中出现，因此“被测量之值的分散性”应比“测量结果的分散性”大，也包含更多的内容。这就是在定义的注3中所说的在分散性中应包括那些由系统效应所引起的不确定度分量，而系统效应引入的不确定度分量在测量结果的分散性中并没有反映出来。
　　根据定义，测量不确定度表示被测量之值的分散性，因此不确定度表示一个区间，即被测量之值可能的分布区间。这是测量不确定度和测量误差的最根本的区别，测量误差是一个差值，而测量不确定度是一个区间。在数轴上，误差表示为一个“点”，而不确定度则表示为一个“区间”。
    　测量不确定度是测量者合理赋予给测量结果的，因此测量不确定度将或多或少与评定者有关，例如与评定者的经验、知识范围、认识水平等有关。因此测量不确定度评定将或多或少带有一些主观色彩。定义中的“合理”是指应该考虑各种因素对测量结果的影响所作的修正，特别是测量应处于统计控制状态下，即处于随机控制过程中。也就是说测量应在重复性条件或复现性条件下进行。
   　为了表征这种分散性，测量不确定度可以用标准偏差，或标准偏差的倍数，或说明了置信水准区间的半宽度来表示。
    　当测量不确定度用标准偏差σ表示时，称为标准不确定度，统一规定用小写拉丁字母“u”表示，这是测量不确定度的第一种表示方式。但由于标准偏差所对应的置信水准(也称为置信概率)通常还不够高，在正态分布情况下仅为68.27%，因此还规定测量不确定度也可以用第二种方式来表示，即可以用标准偏差的倍数kσ来表示。这种不确定度称为扩展不确定度，统一规定用大写拉丁字母U表示。于是可得标准不确定度和扩展不确定度之间的关系:
　    U=kσ=ku
    　式中k为包含因子。
   　　扩展不确定度U表示具有较大置信水准区间的半宽度。包含因子有时也写成k_p的形式，它与合成标准不确定度u_c(y)相乘后，得到对应于置信水准为p的扩展不确定度U_p=k_puc(y)。
    　在不确定度评定中，有关各种不确定度的符号均是统一规定的，为避免他人的误解，一般不要自行随便更改。
   　在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此还规定测量不确定度也可以用第三种表示方式，即说明了置信水准的区间的半宽度a来表示。实际上它也是一种扩展不确定度，当规定的置信水准为p时，扩展不确定度可以用符号U_p表示。
   　　测量不确定度的第二种和第三种表示方式给出的实际上都是扩展不确定度。当已知包含因子k时，扩展不确定度U是从其中包含多少个(k个，k即为包含因子)标准不确定度u的角度出发所描述的扩展不确定度。而当p已知时，扩展不确定度U_p则是从该区间所对应的置信水准p的角度出发来描述的扩展不确定度。对于前者，已知k而不知道p，后者则正好相反，已知p而不知道k。两者各自分别从不同的角度出发来描述扩展不确定度，因此包含因子k与置信水准p之间应该存在某种函数关系，但它们之间的关系与被测量的概率密度分布有关。也就是说，只有在知道被测量分布的情况下，才可以由k确定p或由p确定k。而在测量不确定度评定中，经常会遇到已知置信水准p而需要确定包含因子k的情况，这就是为什么在测量不确定度评定中经常需要考虑各输入量以及被测量分布的原因。而在过去的误差评定中一般不讨论分布问题。
    　JJF1059-1999规定，当置信水准p为0.99和0.95时，U_p可分别简单地以U₉₉和U₉₅表示。
    　误差可以用绝对误差和相对误差两种形式来表示，不确定度也同样可以有绝对不确定度和相对不确定度两种形式。绝对形式表示的不确定度与被测量有相同的量纲。相对形式表示的不确定度，其量纲为1，或称为无量纲。绝对不确定度常简称为不确定度，而相对不确定度则往往在其不确定度符号“U”或“u”上加上脚标“rel”以示区别。被测量x的标准不确定度u(x)和相对标准不确定度U_rel(x)之间的关系为:
    　
    　扩展不确定度也同样可以有绝对和相对两种形式，绝对扩展不确定度U(x)和相对扩展不确定度Urel(x)之间也有同样关系:
    　
    　在计算相对不确定度时，分母中的x应取其真值。由于真值无法知道，实际上用的是约定真值。而在实际工作中一般常以该量的最佳估计值，即测量结果来代替。
    　　若随机变量x的值有可能为零，则不能采用相对误差或相对不确定度的表示形式。例如，在对测量仪器进行校准时，被测量是仪器的示值误差。在表示所测得的示值误差的不确定度时，就不应该用相对不确定度来表示，因为测量仪器的示值误差有可能为零。
    　由于测量结果会受许多因素的影响，因此通常不确定度由多个分量组成。评定方法分为A、B两类。测量不确定度的A类评定是指用对观测列进行统计分析的方法进行的评定，其标准不确定度用实验标准差表征；而测量不确定度的B类评定则是指用不同于对观测列进行统计分析的方法进行的评定。因此可以说所有与A类评定不同的其他评定方法均称为B类评定，它可以由根据经验或其他信息的假定概率分布估算其不确定度，也以估计的标准偏差表征。所有各不确定度分量的合成称为合成标准不确定度，规定以符号u_c表示，它是测量结果的标准偏差的估计值。
    　由于无论A类评定或B类评定，它们的标准不确定度均以标准偏差表示，因此两种评定方法得到的不确定度实质上并无区别，只是评定方法不同而已。在对各不确定度分量进行合成得到合成标准不确定度时，两者的合成方法也无区别。因此在进行不确定度评定时，过分认真地讨论每一个不确定度分量究竟属于A类评定或是B类评定是没有必要的。
    　不少人习惯上将由A类评定和B类评定得到的不确定度分别方便地称为A类不确定度和B类不确定度。这一说法也未尝不可，但不能由此而得到一个不恰当的结论:不确定度分为A类不确定度和B类不确定度两类。对不确定度本身并不分类，每一个分量的标准不确定度都要用标准偏差表示，而所谓的A类和B类仅是为了叙述方便起见而对其按评定方法进行的分类，而不是对不确定度本身的分类。
    　根据定义，测量不确定度是与测量结果相联系的参数，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表述中应该包括测量不确定度。