测量不确定度理解与应用(二)
极差法和贝塞尔法之间的比较

　　 标准不确定度的A类评定定义为:“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度”。国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中介绍了两种A类评定的方法，贝塞尔法和极差法。
    1.贝塞尔法
    当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若得到的测量结果分别为x₁，x₂，……，x_n，n次测量的平均值为。于是用贝塞尔公式可以求出单次测量结果x_i的实验方差s²(x_i)和实验标准差s(x_i)。
    
    2.极差法
    当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若n个测量结果中最大值和最小值之差为R(称为极差)，在可以估计X接近正态分布的条件下，单次测量结果的实验标准差s(x_iv)可近似地表示为:
    s(x_i)=R/C=u(x_i)
    式中系数C为极差系数。极差系数之值与测量次数n的大小有关。表1给出极差法的极差系数和自由度与测量次数的关系。
    

    既然随机变量X的标准偏差可以用两种方法得到，就不可避免地会提出两种方法孰优孰劣的问题。无疑，极差法具有计算简单的优点。但在计算机应用已经十分普及的今天，用贝塞尔公式计算也已变得相当容易。因此关键问题还在于用何种方法估算得到的不确定度更为准确。
    表面上看来，用贝塞尔公式进行计算时使用了全部n个测量结果，而极差法只用了一个极大值和一个极小值，其余数据均弃之不用，因此用贝塞尔法得到的实验标准差应该比极差法更为可靠。比较两种方法的自由度也可以看出，极差法的自由度比贝塞尔法小(贝塞尔法的自由度为n-1，而极差法的自由度<n-1)。于是可以得到同样的结论，贝塞尔法比极差法更为可靠。
    但实际上问题并没有这么简单。根据定义，用标准偏差表示的不确定度称为标准不确定度。因此从理论上说，应该计算的是标准偏差σ，而不是实验标准差s。但标准偏差是一个总体参数，也就是说，要进行无限多次测量才能得到。在实际工作中只能用样本参数来代替总体参数，即用实验标准差s来作为标准偏差σ的估计量。理论上可以证明，实验标准差s并不是标准偏差σ的无偏估计量。这就是说，当用实验标准差s来代替标准偏差σ时，除了实验标准差s本身是一个随机变量外，它的数学期望值(即无限多次测量结果的平均值)相对于标准偏差σ还有一个与测量次数有关的系统性偏差。测量次数越少，其系统性偏差就越大。因此可以对贝塞尔公式作一无偏差的修正。经过无偏差修正后的贝塞尔公式为:
    
    上式中修正因子M_n的数值见表2。由表2可知，当测量次数n≤6时，随着测量次数减少，偏离系数M_n将明显加速偏离1。
    

    也可以分别计算出用贝塞尔公式和极差法得到的实验标准差的相对标准不确定度，其计算结果见表3。由表3可以看出，当测量次数n=10时，两种方法得到的实验标准差准确程度几乎相同。当n>10时，贝塞尔法优于极差法；当n<10时，极差法优于贝塞尔法。至于修正的贝塞尔公式，相比而言虽然最为准确，但因比较麻烦实际上很少使用。这就是为什么国家计量技术规范JJF1059-1999中在给出极差系数及自由度表后指出“一般在测量次数较小时采用该法”，以及国家计量技术法规统一宣贯教材《测量不确定度评定与表示指南》中同时还指出“测量次数以4～9次为宜”。
    

    上面的分析，仅是针对实验标准差而言的。在大部分的测量不确定度评定中，测量不确定度A类评定仅是其中的一个或几个分量。他们还将与其他B类评定的分量合成，才能得到合成标准不确定度。合成的方法是方差相加。虽然实验标准差s并不是标准偏差的无偏估计量，但却可以证明实验方差s²是总体方差σ²的无偏估计量。因此，若A类评定需要和其他B类分量合成，且A类评定分量不占优势时，则无论测量次数的多少，贝塞尔法将优于极差法。
    因此笔者认为结论应该是:
    (1)当A类评定不确定度分量不是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则无论测量次数多少，贝塞尔法优于极差法。
    (2)当A类评定不确定度分量是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则两种方法的优劣与测量次数有关。当测量次数n<10时，极差法优于贝塞尔法；当测量次数n≥10时，贝塞尔法优于极差法。