计量培训：测量不确定度表述讲座
国家质量技术监督局  李慎安

　　5.1  A类评定的基本方法是什么？
　　用统计方法(参阅4.1)评定标准不确定度称为不确定度的A类评定，所得出的不确定度称为A类标准不确定度，简称A类不确定度。当它作为一个分量时，无例外地只用标准偏差表征。
　　标准不确定度A类评定的基本方法是采用贝塞尔公式计算标准差s的方法。
　　一个被测量Q(既可以是输入量中的一个，也可以是输出量或被测量)在重复性条件下或复现性条件下重复测量了n次，得到n个观测结果q₁，q₂，…，q_n，那么，Q的最佳估计即是这n个观测值的算术平均值:
　　 由于n只是有限的次数，故又称为样本平均值，它只是无限多次(总体)平均值的一个估计。n越大，这个估计越可靠。
　　每次的测量结果q_i减称为残差v_i，v_i=(q_i-)，因此有n个残差。
　　残差的平方和除以n-1就是实验方差s²(q_i)，即一次测量结果的实验方差，其正平方根即为实验标准差s(q_i)，当用它来表述一次测量结果的不确定度u(q_i)时，有s(q)=u(q_i)，或简写成s=u。
　　请注意，今后不再把s作为A类不确定度的符号，把u作为B类不确定度的符号，而是不分哪一类，标准不确定度均用u表示。
　　上述的计算程序就是3.1给出的程序。
　　平均值的标准偏差s()或其标准不确定度u()为:
　　 必须注意上式中的n指所用的次数。在实际工作中，为了得到一个较为可靠的实验标准偏差s(q_i)，往往作较多次的重复测量(n较大，自由度ν也较大)；但在给出被测量Q_i测量结果q时，只用了较少的重复观测次数(例如往往只有4次)。那么，4次的平均值的标准偏差就是s(q_i)/4=0.5×s(q_i)
　　但是，如果用于评定s(q_i)时的n个观测值，直接用于评定s()(n个的平均)，则成为下式:
    

　　5.2  除基本方法外还有哪些简化的方法？用于何种场合？
　　在JJF1059中提出了另外的一种简化方法，称之为极差法，极差R定义为一个测量列中，最大的测量结果减最小测量结果所得之差。所谓测量列，是指重复性条件下或复现性条件下的若干测量结果这一整体。
　　使用极差法评定s(q_i)的前提是q_i的分布应是正态的。对于大多数测量仪器来说，单次测量的示值，其分布往往偏离正态甚远，例如轴尖支承式仪器的示值介于正态与均匀分布之间，数字电压表的示值分布一般呈双峰状态等。但是所有q_i如果已是3或4个示值之平均值，则可以认为其分布是正态的了。
　　在得到了极差R之后，根据这个测量列中包含的q_i的多少(即测量次数n)，除以一个相应的系数C就可得出单个q_i的实验标准偏差s(q_i)了，即s(q_i)=R/C=u(q_i)。
　　当n=4时，C=2.06≈2；
　　当n=9时，C=2.97≈3；
　　当n=15时，C=3.47≈3.5。
　　必须注意，上述三种情况下的自由度ν分别只为2.7，6.8与10.5，比用贝塞尔公式所计算出来的结果自由度小，因此，可靠性也较差，一般在n较小时使用较好。

　　5.3  什么叫合并样本标准差s_p？一般有哪几种求s_p的方法？
　　合并样本标准差s_p这一符号的下标正体小写p，来源于英文pooled一词，表示并非来自一个被测量的实验结果，但s_p所给出的则仍为这一条件下单次测量结果的标准偏差。s_p是根据多个被测量在重复性条件或复现性条件下重复观测所得测量结果，按统计方法计算出的一次测量结果的分散性标准偏差，一般只用于常规的规范化的测量之中。例如:按检定规程进行的校准工作，车间中的在线抽检，某种产品中成分的抽样化验等。采用s_p的前提是:检测方法不变；整个过程处于正常情况，被测量值的大小变化对分散性不起主要作用。由于s_p的自由度一般可以比较容易地达到20以上，认为是相当可靠的，一般把它保留下来作为一种技术档案而用于今后的相同条件下测量结果(往往只重复二、三次，甚至不重复)不确定度的评定。
　　例如某种测量一般进行4次观测，取算术平均值作为测量结果报出。这种规范化的测量如对10个被测量进行过了，则可以通过这10次的记录，每一次可算出4个残差v_i，一共可算出40个残差v_i。所有这些残差的平方和除以10×(4-1)=30后开方，就是s_p，其计算式表示为:
    

　　式中的m是所用的被测量个数，上例中为10，式中的n是每个被测量的次数，上例为4。按上例，这样得出的s_p的自由度υ=m(n-1)=30，也就是测量次数减被测量的个数。
　　如果这10个被测量每次测量的次数并非都是4次，而是各不尽相同，则可以分别计算每一次的实验标准偏差(按贝塞尔公式)s_i，通过这10个不同的s_i及其相应不同的自由度ν_i(按n-1)由下式得出s_p，即
    

　　这时得到的s_p的自由度按测量次数减被测量个数即∑ν_i。
　　此外，还可以通过一个被测量的两次测量结果之差Δ来求一次测量结果分散性标准差。例如:10个被测量，每个均测了两次，得到10个差值Δ_i，按贝塞尔公式计算差值Δ_i的标准偏差s(Δ_i)为:
    

　　式中:按本例n=10，为10个差值的算术平均值，s(Δ_i)的自由度为n-1，本例则为9。由于单次测量结果的标准差s(x_i)与s(Δ_i)之间有:
　　因此，用这一方法得出的s(Δ_i)还要除以就是s_p，即单次测量结果x_i的合并样本标准差。采用这种方法时，应有较多的被测量，以使其自由度足够大，一般应有20个以上。由于每个被测量只进行两次测量，实用中不少情况下是方便的，特别是被测量本身不很稳定的情况下，这一方法有其独特的优点。

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　　5.4  不等精度加权平均值的实验标准差如何计算？
　　不管是重复性条件还是复现性条件下，只要是处于统计控制状态下，均可按贝塞尔公式计算单次测量结果或平均值的标准偏差，这种情况下，我们把这些进入贝塞尔公式的结果认为是等精度的，但如果对同一被测量的若干个测量结果的不确定度各不相等，就是非等精度的测量结果，通过这些结果求出该被测量的最佳估计时，应按加权平均的办法处理，其不确定度的计算也要考虑各个结果的权，权是表示各个测量结果可靠程度的一个比值。我们过去说权与误差的平方成反比，实际上是与不确定度的平方成反比，或说与方差成反比。由于不确定度有几种不同表达形式(u，ku，k_pu)(参见3.4与3.5)，在权的计算中，应使各个结果的不确定度换算成用同一种不确定度给出。
　　例如:对一个被测量有以下三个测量结果:
　　y₁=(1000.045±0.010)mm，k=2
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.020)mm，p=95
　　以上三个结果±号后都是不确定度，但包含因子k不同，第三个则是用扩展不确定度U₉₅给出的，在进行加权平均时，应把他们换算成同一种，通常是都算成k=1的标准差，成为:
　　y₁=(1000.045±0.005)mm，k=1
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.010)mm，k=1
　　设这三个结果的权分别为p₁，p₂与p₃，当设其中不确定度最大者p₂为1时，应有共同分子(20μm)²，得
    

　　加权平均值按
　　y=∑q_iy_i/∑q_i
　　计算，得
　　

　　y的标准偏差按
    

　　上式中的v_i，也是残差，等于y_i-y，m则为y_i的个数，本例中m=3。
　　s(y)=6.5μm
　　有些书上把称为单位权的标准偏差，以简化计算。

　　5.5  直线拟合中表征曲线拟合参数的标准不确定度如何评定？
　　直线拟合为最常用也最简单的一种，它给出两个变量x、y间的线性关系。通过测量出一组数据(x_i，y_i)，i=1，2，…，N，得到的一条直线y=mx+b应该是所有这些点(x_i，y_i)与这条直线垂直距离之差的平方和为最小，所谓最小二乘即此意。式中m是直线斜率(也称回归系数)，b是直线在y轴上的截距，m由下式可算出:
    　　

　　例如:求测出的点(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)这7个点，N=7的计算列表如下:
    

　　斜率
　　y轴截距b=4.71-0.858×5=0.426
　　由此给出的回归方程为:
　　y=0.858x+0.426
　　以上所得出的m及b的标准偏差s(m)及s(b)的计算如下。
　　先出y_i的标准偏差s(y)，按贝塞尔公式
    

　　式中y_i是按测量给出的，而y则是得到的式子给出的。上式的2是由于这里有两个被测量。然后按下式分别评定m及b的标准偏差为:
    

　　列出计算表:
    

　　 得:
    

　　自由度均为ν=N-2=5。

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　　5.6  A类评定方法有什么主要特点？
　　a.比B类方法更为客观；
　　b.较具有统计学的严格性；
　　c.要求给定条件下的多次重复观测；
　　d.所得到的标准偏差，其可靠程度与重复观测次数有关；
　　e.计算较为复杂。

　　5.7  在采用A类方法评定时应注意哪些问题？
　　a.尽可能在重复测量中的各次观测值相互独立，例如:重新抽样、重新配制标准溶液、重新调整测量仪器的零位；
　　b.所有假定为随机性的效应是否在整个实验中确是随机的，他们的分布均值以及方差是否不变，是否存在未知的漂移；
　　c.重复性条件或复现性条件应充分保证；
　　d.影响量不应超出允许范围；
　　e.当某种测量只进行了一次，并未在重复性条件下或复现性条件下多次观测时，未必不存在A类评定方法。例如，采用合并样本标准偏差s_p。

　　5.8  是否有可能在测量不确定度评定中，就只有一个A类不确定度？
　　当只有一个A类不确定度分量起主要作用，其他的不确定度分量之值甚小而可忽略不计的情况下，在评定测量不确定度时就只有这一个A类分量。例如在样品元素分析中，对样品的消化所带来的不确定度远远大于分析仪器的不确定度及其他分量。又如对样品热导率的测量中，重复条件下的分散性标准差远远大于所用测量仪器的不确定度分量等。

　　5.9  A类评定方法的举例
　　设重复性条件下，测量某一电流的8次独立重复观测值I_i为:130，141，120，110，118，124，146，128 mA，其平均值为127 mA，按贝塞尔公式，单次观测值的标准不确定度:
　　s(I_i)=11.9 mA=12 mA
　　平均值的标准偏差s():
　　
　　自由度ν=n-1=8-1=7

　　5.10  协方差的A类评定中应注意什么？
　　例如用同一个50kg的标准砝码对两个50kg的工作用砝码进行校准，则在两个校准结果中既包含有校准过程中随机效应导致的不确定度分量，也包含了所用同一标准砝码证书上给出的实际值的不确定度这一系统效应导致的不确定度分量。后者的存在导致两个50kg砝码的校准结果相关。这两种分量的相对大小，决定了相关的强弱。如果上述第一种分量远小于第二种，则它们是强相关，否则为弱相关。相关程度的定量指标为相关系数r，借助于有限次数(n次)的重复测量，通过协方差s()进行A类评定的计算式如下:
　　
　　式中:q_k是第一个被检砝码的第k个结果，r_k是第二个被检砝码的第k个结果。是第一个砝码n个结果的算术平均值，则是第二个砝码的平均值。当然，q_k-以及r_k-就是它们各自的n个残差。必须注意的是，应由n个50kg标准砝码来对这两个50kg砝码校准而分别得出n对测量结果:q₁，r₁；q₂，r₂；…；q_n，r_n。而决不是用一个50kg标准砝码对这两个砝校重复校准n次。
　　当得出s()后，可按下式
    

　　计算被校准的两个50kg的测量结果间的相关系数r。式中:s(q_k)与s(r_k)为按贝塞尔公式所计算的一次测量的实验标准偏差。很明显，本例中s(q_k)=s(r_k)。当s()s(q_k)时，r≈1即强相关，而当即不相关。
　　可以看出，这种评定方法虽然客观，但需要较多的标准器、实验过程与计算也较复杂，只有在特殊情况下(例如制定检定规程)时才采用。