计量培训：测量不确定度表述讲座
国家质量技术监督局　李慎安

　　6.1  什么叫不确定度的B类评定？
　　测量不确定度的评定方法主要分成两大类。一类是用统计方法进行评定，称之为A类评定(参阅1.2)，而其他的非统计方法，统称之为B类评定，又称之为非统计方法的评定，由此评定出来的不确定度一般称为B类不确定度或称为B类标准不确定度。要注意的是INC—1(1980)(参阅1.2)中以及《JJF1027》中都曾规定A类不确定度分量用符号s_i，而B类不确定度分量用符号u_j表示，这一方式在《导则》以及《JJF1059》中已作了更改，s只是实验标准偏差的符号，当它作为不确定度时，则不论是A类还是B类方法所得到，一律用u作为符号而只以数字序号作为下标相区别，一般则写作u_i。从量值上说s=u，但含义不同。
　　B类不确定度只是其评定方法与A类不同，如此而已。在合成过程以及对测量不确定度的贡献中完全一样，它们都以标准偏差给出，也都可以评定其自由度。

　　6.2  用于评定B类不确定度的信息一般有哪一些？
　　由于B类评定方法不是按统计方法进行的，一般不需要对被测量在统计控制状态下(或是重复性条件下或复现性条件下)进行重复观测，而是按现有信息加以评定。所用信息一般有:

　　(1)以前的观测数据。
　　例如，对某一型号的测量仪器的重复性(参阅《JJF1001—1998》第7.27条)按A类评定方法，重复了20次观测，得出了其单次示值的分散性，即重复性标准偏差s_r。由于这个s_r的自由度υ=20-1=19，一般来说，也是充分可靠的了。所以，这个数据可以用作该测量仪器进行一次、或重复几次测量结果的不确定度评定信息。
　　但是，同一型号的某测量仪器的重复性如果彼此并不一定接近，例如，有1/3或1/4左右的差，那么，如果我们对例如只有三台这样的测量仪器，分别各进行了20次观测试验，并分别得出它们的重复性分别为s_r1=3.4，s_r2=2.4，s_r3=2.9。这三个标准偏差可认为充分可靠，而这样的差别则是反映了仪器本身重复性的不同。这一现象，说明不能用一台仪器的s_r代替同类型的其他仪器的s_r使用。如果，如上例，把这三个s_r取平均值=2.9，那么其标准偏差按贝塞尔公式
    自由度为2，因此，拿2.9作为其他同类型测量仪器的单次测量的分散性标准差也是不行的。这个例子说明:对以前的观测数据应加以分析，看其是否可用于当前的测量结果。

　　(2)对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验。
　　例如50 mm的量块，其中心长度最大允许示值误差，对于零级来说是±0.25μm，一级是±0.50μm、二级是±1.00μm。仅是这样的信息是不够的，还应了解在二级量块中是不会出现示值误差在±0.50μm内的量块；同样，在一级量块中，也决不会出现示值误差在±0.25μm内的量块。原因是在成批生产出同一标称尺寸的量块后，按最大允许示值误差把±0.25μm者作为零级挑出，把从±0.26μm至±0.50μm者挑出作为一级，如此类推。因而虽然有最大允许示值误差的信息，按上述特性，只是接近两点分布，有了这一信息，就可以评定其标准不确定度了。

　　(3)生产部门提供的技术说明文件
　　例如对某些装备了玻璃短标尺的测长光学仪器，一般，生产厂是给出了该尺的线膨胀系数的，我们就可以依据它对由于温度测量导致的不确定度进行评定。

　　(4)校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前还暂在使用的极限误差等。
　　校准是指在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考物质所代表的量值，与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。简而言之，即为确定测量仪器示值误差的一组操作，或给出示值的一组操作。例如对标准硬度块的定度，对标准砝码、量块、标准电池的赋值等。当然，在校准证书中必定要给出其校准结果的不确定度，甚至还要给出其自由度。给出该测量仪器所属的等别(order)或(和)级别(class)，这些都是据以评定标准不确定度的极为常见的信息。
　　至于极限误差，目前还在JJG2009《射频与微波功率计量器具检定系统》、JJG2010《射频与微波衰减计量器具检定系统》、JJG2016《粘度计量器具检定系统》、JJG2027《磁感应强度计量器具检定系统》等为数尚不少的技术规范中使用，这是我国50年代以来的作法，由于对极限误差的评定缺乏统一的规范，导致其含义不确切。当前不应再使用这一概念来表述测量结果，但对早已存在的规范，未修订以前，还应可以作为评定标准不确定度的依据。

　　(5)手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。
　　例如手册上给出的基本物理常量、阿伏加德罗常数L=(6.022 136 7±0.000 003 6)×10²³ mol^-1，并声明±号后之值为标准偏差，其自由度为17。
    又如国际上1992年公布的相对原子质量。例如对于碳原子A_r(C)=12.011(1)，括弧中的1表示相对原子质量值的标准偏差为0.001。可惜的是没有指明不确定度的自由度。但这可用于对不确度分量的评定。

　　(6)技术规范中对某些测量方法所规定的重复性限r或复现性限R。
　　在一些检测方法的国家标准或其他技术规范中给出的r或R一方面用于查明实验过程是否处于所规定的状态，是否出现过大的误差，另一方面，说明了这一方法的不确定度。
　　B类标准不确定度u(q_i)的二次方，可简称为B类方差。

　　6.3  当已知扩展不确定度U及包含因子k时，如何评定其标准不确定度？
　　例如当前对圆锥量规、锥度仪器、热电偶、维氏硬度计、色温度仪器、发光强度计、核素活度计等类，在其检定系统中均明确规定校准结果要按k=3给出扩展不确定度U。而例如超声功率计、橡胶硬度计、黑白密度计等，采用k=2给出扩展不确定度U。在这些情况下，只要用U除以k即可得出标准不确定度。例如:某交流数字电流表，流量上限为10A，相对扩展不确定度为5×10^-4，k=3，则其相对标准不确定度u_rel=5×10^-4/3=1.7×10^-4。

　　6.4  如果检定、校准证书上给出总体标准偏差σ的倍数时，如何评定标准偏差？
　　当前还有不少测量仪器仍沿用50年代以来的习惯，用总体标准偏差σ及其倍数表示校准结果的可靠程度。例如:真空测量仪器、燃烧热测量仪器、电导流量仪器、水流量测量仪器、某些压力测量仪器等。本来σ只是一种理想概念，在计量学中的总体指重复性条件下，对同一被测量进行了无限多次的重复观测，通过这无限多个观测结果按下式:
　　计算出来的，式中μ为对被测量Q进行无限多次的算术平均值，称为总体均值，N是重复观测次数，为无限大。由于实际测量中的重复次数n是极为有限的，按贝塞尔公式算出的实验标准偏差s只是σ的一个估计，应该说，把s等同于σ是不合理的，s本身还有不确定度，而σ的不确定度为零。但是，现在在一些测量仪器既已用了σ的情况下，我们在评定标准不确定度时，可以把σ直接作为标准不确定度u处理，即从量值上说σ=u。又如，射频与微波功率计、脉冲参数计量仪器、真空测量仪器等，它们用3σ给出时，采用其三分之一即获得标准不确定度。对于那些燃烧热、气体流量、石油螺纹测量仪器等，它们用2σ给出时，采用其一半即获得相应标准不确定度。
　　对于例如液体闪烁放射性活度测量仪器、质量测量仪器等，给出置信概率为99.73%的情况下，由于原假设为理想的正态分布，而且所得到的合成标准不确定度又十分可靠，在这一情况下给出了上述置信概率，尽管从实际上说不十分合理，虽原为3σ的含义在进行不确定度评定时，可按U₉₉处理，即除以2.6，但也未必不可以除3，前者偏保守即稍可靠一些。作这种评定时，自由度可估计大一些，而用除以3来评定u时，自由度就不能估计得太大。

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　　6.5  已知U_p的情况下，对标准不确定度的评定如何？
　　从现在起，将会越来越多地在校准证书上给出校准结果的扩展不确定度U₉₅，或U₉₉，这样就十分明确地交代了置信概率p的大小。如果没有特殊说明，一般总按正态分布考虑，并据以评定其标准不确定度。在正态分布情况下，置信概率p与包含因子k_p之间的对应关系为:
　　p=0.90    k_p=1.64；
　　p=0.95    k_p=1.96；
　　p=0.99    k_p=2.58。
　　例如肖氏硬度计用U₉₅，而(273.15～903.15)K温度计用U₉₉。显然，如给出的是U₉₅，则u=U₉₅/1.96，如给出的是U₉₉，则u=U₉₉/2.58。

　　6.6  如果校准证书上既给出了U_p，又给出了其自由度υ，应如何评定其标准不确定度u？
　　在《JJF1059》中，推荐在给出扩展不确定度U₉₉或U₉₅时，同时给出其自由度。当这些信息已在校准证书中给出后，使用者不仅可以更有把握地给出标准不确定度u，而且这个u之值会比6.5所评定出的要小一些，对不确定度评定是有利的。
　　当有了自由度υ以后，可以按以下t值在表格中查出k_p=t_p(υ)这个值。例如:已知的自由度υ=10，采用的置信概率p=0.99，表中给出k_p=3.17，这个值比上述6.5中的2.58大了不少，约五分之一。这样，通过U_p/k_p所得的标准不确定度就会比用k=2.58除得出的值要小约五分之一。油水不少!

　　6.7  当已知量X之值x分散区间的半宽为a，且x落在x-a至x+a区间的概率p为100%，即全部落在此范围内，如何评定标准不确定度u(x)？
　　在x±a内包含了X的全部可能值。a处于x的两侧，而且，x处于已知区间x-a至x+a的中央。拿a作为扩展不确定度U(k=3)或是U₉₉未必不可以，只是不太确切，也不很可靠。p=100%可认为接近99%，而k=3则不一定确切。在这一情况下要评定其标准不确定度u(x)时，与X可能值的分布类型关系很大，因而必须对其分布作出一个近似的估计，需要有一定的经验。分布的情况与包含因子k的关系是:越接近(向正态分布趋近)正态分布，k值越大。从两点分布到正态分布，k值由1增加到3。
　　接近正态分布:  k=3    

　　三角分布:  k=≈2.45
　　梯形分布:  k=2
　　矩形分布:  k=≈1.73
　　反正弦分布:k=≈1.41
　　两点分布:  k=1
　　以上梯形分布指其上底与下底之比β=0.71的较为多见的标准状态。当包含因子k增大，评定出的标准不确定度u(x)=a/k就减小。
　　分散区间的半宽a可以理解为可能出现的误差极限值之模。即绝对值最大的误差，一般用误差限这个概念。但表述为误差限时，带有正负号(±)，例如测量仪器的最大允许误差。
　　一般用a_-，表示小于x的那个下界，而用a₊表示大于x的那个上界，或称为x的下限、上限值。

　　6.8  如何对分散区间x-a至x+a范围内，x可能值的分布类别进行估计？
　　如果测量结果x是几个观测值的平均值(例如三个以上)(经常用算术平均值作为测量结果)，则其分布必定是正态的。如果被测量Y是由两三个以上的分量按线性合成时(例如相加)，而这些分量彼此的大小又比较接近，则y的分布是接近正态的，如果Y是由两个分量线性合成，而这两个分量接近，且是三角分布，则y的分布也会是正态的。自由度的大小与分布无关，不能作为考虑分布的依据。
　　在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布(均匀分布)。但如果已知Y的可能值出现在a_-至a₊中心附近的可能性大于接近区间边界时，则可按三角分布评定u(y)。
　　以下给出几种分布类别的情况:

　　(1)正态分布
　　a)重复性条件或复现性条件下多次测量的算术平均值或加权平均值的分布；
　　b)被测量Y在校准证书中用扩展不确定度U_p给出，而对其分布又没有特殊说明时，估计值y的分布；
　　c)在被测量Y的合成标准不确定度u_c(y)中，相互独立的分量u_i(y)较多，它们之间的大小也比较接近时，y的分布；
　　d)在被测量Y的合成标准不确定度u_c(y)中，相互独立的分量u_i(y)中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；
　　e)被测量Y的合成标准不确定度u_c(y)的相互独立的分量中，量值最大的分量(起决定作用的分量)接近正态分布时。

　　(2)矩形(均匀)分布
　　a)数据修约导致的不确定度；
　　b)数字式测量仪器分辨力导致的不确定度；
　　c)测量仪器由于滞后、磨擦效应导致的不确定度；
　　d)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；
　　e)用上、下界给出的线膨胀系数；
　　f)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；
　　g)平衡指示器调零不准导致的不确定度。

　　(3)三角分布
　　a)相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度；
　　b)因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度；
　　c)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；
　　d)两相同均匀分布的合成。

　　(4)反正弦分布(U形分布)
　　a)度盘偏心引起的测角不确定度；
　　b)正弦振动引起的位移不确定度；
　　c)无线电中失配引起的不确定度；
　　d)随时间正余弦变化的温度不确定度。

　　(5)两点分布
　　例如，按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布。

　　(6)投影分布
　　a)当Y_i受到1—cosα(角α服从均匀分布)影响时，y_i的概率分布；
　　b)安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度。

　　(7)无法估计的分布
　　大多数测量仪器，对同一被测量多次重复测量，单次测量示值的分布一般不是正态分布，往往偏离甚远。如轴尖支承式仪表示值分布，介于正态分布与均匀分布之间，数字电压表示值分布呈双峰状态，磁电系仪表的示值分布与正态分布相差甚远。

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　　6.9  当被测量X的最佳估计值x并不处于其可能值分散区间2a，即(a₊-a_-)的中点时，如何评定标准不确定度u(x)？
　　这时，由于x不处于a_-至a₊的中心，X可能值分布在此两区间内的概率是不一定相等的，也一般不会是对称的，在缺乏用于可靠判断其分布状态的信息时，按矩形分布处理，可近似地采用:
　　上式中的b₊，b_-为:
　　b_-=x-a_-
　　b₊=a₊-x
　　且b_-≠b₊
　　计算式中的分母为(2)²，2是取分散区间的一半，是按矩形分布给出的包含因子k。
    有时也可以对这类不对称的界限采用修正的方法，即对最佳估计x加以修正，修正值的大小为(b₊-b_-)/2，在修正后，x就处于分散区间的中心x=(a_-+a₊)/2，而其半宽a=(a₊-a_-)/2。即可按6.7所述方式评定u(x)。

　　6.10  测量仪器分辨力导致的标准不确定度如何评定？
　　分辨力是显示装置分辨力的简称。按《JJF1001》定义为:显示装置能有效辨别的最小示值差。对于数字式显示装置，即变化末位一个有效数字时，其示值的变化，所谓步进量。
　　分辨力导致的示值误差限为±0.5个步进量。即其分散区间的半宽a为0.5×步进量。由于被测量可能值出现在这一分散区间之内的任一点的概率相等，应估计其分布类型为矩形。设分辨力为δx(按《JJF1059》给出的符号)，则由此而带来的标准不确定度为0.5×δx/≈0.29δx。

　　6.11  对量值修约所导致的标准不确定度如何评定？
　　对一个量值修约以后，必定带来修约误差，修约误差等于修约后的值减修约前的值。例如:100.046 50 g修约成为100.046 g，即保留到1mg的水平，其修约误差为100.046 50 g-100.046 g=0.0005g=+0.5mg。修约误差既可为正也可为负值。如把100.045 50 g修约到小数点后第3位，按一段修约规则，也得到修约后之值为100.046g，这时的修约误差为-0.5mg。我们从一个已修约后的值无法看出它在修约前是多大。但是，可以判断其修约误差限。从而修约所带来的误差限等于半个修约间隔。所谓修约间隔，在国家标准GB8170—1987《数值修约规则》中，定义为修约值的最小单位。也就是说，修约后之值只能是其整数倍。因此，上例中给出的100.046g，其修约间隔为0.001g即1mg。对于一个已修约的值，如果不是0.5和0.2修约间隔(这种情况极少使用)，其修约间隔必定是这个数值的末位为1的值。例如:73.684mm，其修约间隔为0.001mm；73.6845mm的修约间隔为0.0001mm。
　　修约导致修约误差。对于一个已修约之值，我们虽不知道修约前之值，根据其最大不超过半个修约间隔及均匀分布的估计，修约导致的标准偏差不超过:0.5×半个修约间隔/≈0.29修约间隔。当从某种资料查到的近似值没有任何其他信息用以评定其标准不确定度时，按该数据给出的值到了哪一位，进行修约不确定度的评定往往是唯一的办法。

　　6.12  按重复性限r与复限性限R如何评定该条件下的重复性标准偏差s_r和复现性标准偏差r_R？
　　按现行国际标准ISO5725—1994《测量方法与测量结果的准确度》给出的重复性限r和复限性限R的定义是，在重复性条件下或复现性条件下，两次测量结果之间的差，以95%的置信概率，不致超过的值。当制定了某种测量程序和条件之后，在这一条件下的测量结果间的分散性、重复性标准偏差或复现性标准偏差，是可以通过实验按统计方法评定的，得到的结果就是s_r或s_R。如果自由度充分大(例如超过20)，而且在重复测量结果的分布又接近正态的前提下，s_r与r之间以及s_R与R之间有:
　　r=2.8s_r
　　R=2.8s_R
　　当在有关技术规范中给出了r或R时，按上述关系可以计算出s_r或s_R作为标准不确定度。

　　6.13  按校准证书已知某测量仪器的等别时，如何评定其标准不确定度？
　　对于那些分等的测量仪器，在其校准证书中，一般均给出了被校准测量仪器属于哪个等，而往往不再给出校准结果的不确定度。等是按校准结果不确定度大小划分的一种档次，例如量块、活塞压力计、标准电池等。给出了等别，实质上就相当于说明了其不确定度不超过某个限值。例如对于50mm的量块，二等的不确定度不大于0.09μm(p=0.99)，有了这一信息后就可以按6.5进行评定，只不过往往在校准证书上只给等别而不给出相应的U和U_p。这时，就得查有关的检定系统或检定规程了。

　　6.14  按校准证书已知被检测仪器的级别时，如何评定其标准偏差？
　　级的概念是按测量仪器(包括实物量具)示值误差划分的档次(包括相对误差)。因此，明确了级别，实质上也就是说明了其示值误差不致超出的界限(上下界)。例如:50mm的二级量块，其中的长度偏差(最大允许误差)限为±1μm。如果我们是按其中心长度的标称值来使用这个量块，所导致的标准不确定度就只能按±1μm这一信息，再加上它是两点分布(参阅6.8)，其标准不确定度为1μm(注意这时不再用正负号)。级别所对应的误差限往往也需另查资料。
　　有时，级别是按引用误差(相对示值误差的一种)之数值给出的。例如证书上给出符合1.5级压力表，这个级别的引用误差是1.5%，并非测量不确定度。引用误差的方便之处在于，对于不少指针式测量仪器来说，特别是多量限的测量仪器，不论是在量限内的哪一点上，其引用误差都是同一个值。在不确定度评定中，可据以将它作为示值误差分散区间的半宽(相对值)，再按6.7所述评定。

　　6.15  什么情况下，B类评定方法所得出的标准不确定度的自由度可估计为无限大？
　　自由度是用于说明标准不确定度的可靠性的，越可靠，自由度越大。因此，当我们用非统计方法评定出的结果十分可靠时，就可估计其自由度为无限大，例如:
　　(a)校准证书上给出了校准结果的扩展不确定度U或U_p，该标准测量仪器稳定性极好或校准时间并不太长，保存条件也较理想，其值不致有明显变化。
　　(b)按测量仪器的最大允许误差或级别所评定出的标准不确定度。
　　(c)按测量仪器的等别的不确定度档次界限所作出的评定。
　　(d)按测量仪器引用误差或其相应级别作出的评定。

　　6.16  符号Δu(x_i)指什么？
　　在《GUM》以及《JJF1059》中均用了这一符号，但未明确其含义，u(x_i)是被测量Xi的标准不确定度，这是上述文件均已明确的。加了一个Δ，则表示u(x_i)的误差限，但是用标准偏差给出的值。这里，Δ这个符号用得不太标准。Δu(x_i)可以认为是指u(x_i)的不确定度，即不确定度的不确定度，或标准偏差的标准偏差。

　　6.17  符号Δu(x_i)/u(x_i)或σ[u(x_i)]/u(x_i)的含义如何？为什么用它来评定B类标准不确定度的自由度？
　　Δu(x_i)的含义已如6.16所述，σ[u(x_i)]的含义是用了总体标准偏差σ来代替Δ，指可靠的标准偏差之值。
　　不管对标准偏差的评定方法如何，A类还是B类，所得出的标准偏差均存在一个可靠性如何的问题。
　　基于通过重复测量的统计方法不一定就比非统计方法好，就平均值的标准偏差s()而言，它是正态分布随机变量q的n次独立观测值平均值的实验标准偏差。量s()是个统计量，它是总体标准偏差σ()的估计，σ()是的概率分布的标准偏差，即是无限多次重复观测得到的值分布的标准偏差。s()的方差σ²[s()]近似地为:
　　σ²[s()]≈σ²()/2υ
　　其中，υ=n-1是s()的自由度。因此，可以取s()的相对标准偏差σ[s()]/σ()作为s()的相对不确定度的度量，它近似地等于[2(n-1)]^-2。这是的不确定度的不确定度，完全由于有限次数n不够大而引起。例如在n=10时，它等于约24%。而在非统计方法评定的标准偏差中，根据自由度的定义，当自由度υ在t分布出现时，它是方差s²()的不确定度的度量，有
　　方括号中给出的是u(q)的相对不确定度，对B类评定而言，它是个主观量，其值是按可利用的信息判断的。
　　例如:考虑到输入估计值x_i及其标准不确定度u(x_i)的信息，判断u(x_i)的值大约不可靠到25%，就意味其相对不确定度△u(x_i)/u(x_i)=25%，代入上式，得υ_i=(0.25)^-2/2=8。如果判断u(x_i)之值大约只有50%可靠，也就是50%不可靠。代入上式，算出υ_i=2，实际工作中，一般只估计出其不可靠的百分数，查下表即可:
    

　　当前，有些文献把“可靠”与“不可靠”的含义弄混淆了，例如:“自由度由于标准不确定度有25%可靠，υ=8”。显然，这个25%应是“不可靠”而非“可靠”。此外，这里所用“可靠”一词，只是一个通俗的概念。

　　6.18  相关系数r是否可以进行B类评定？
　　在计量学领域中的极大多数情况下，相关系数r的评定并非通过A类方法进行而是通过B类方法进行的。例如:用一个标准砝码来校准若干个标称值相同的工作用砝码，然后用这些工作砝码去校准大秤量的衡器时，这些工作砝码的标准不确定度虽然都相等，但存在很大的相关性。用同一标电阻器校准若干个标称值相同的电阻器，将它们串联起来用于较大电阻的检定时也同样如此。
　　以上两例情况基本相同。检出的电阻器校准值的不确定度基本由两个分量构成，一是标准电阻器的不确定度，二是校准过程中引入的不确定度。前者，按经验是正强相关，r₁=1，但后者按经验，彼此独立，不相关，r₂=0，这种评定属于B类方法。例如:10个被校电阻器串联，则可将它们串联后电阻值的不确定度也分成两部分，把强相关的r₁=1的哪一部分先合成，即取10倍的标准电阻不确定度，相互独立的第二部分另行合成(方和根)，实际为倍的一次校准不确定度。有关合成问题将在本讲座后面有关部分详述。