国家质检总局  李慎安

　　一、问题的提出

　　在一个测量过程的数学模型中的两个或两个以上的输入量X₁、X₂，……的估计值x₁，x₂，……之间，如果由于相同的原因导致他们出现了相互的联系(同时都偏大或偏小地类似正比，或其一偏大另一偏小地类似反比)的现象，在不确定度评定中称之为相关或互不独立。

　　这种导致相关的原因一般有:
　　1.他们来自于同一测量仪器或测量装置，特别是当x₁，x₂，……比较接近的情况下，会出现较大的相关性。
　　2.来自于相同的实物标准，例如:量块、砝码、量杯、量瓶、标准电阻、标准电池等计量标准器，特别是当检测过程中随机效应导致的分散性较小的情况下，会出现较大的相关性。
　　3.在获得x₁，x₂，……中使用了相同的参考数据。
　　当输入量估计值之间出现相关时，必然导致他们的协方差以及相关系数不为零。例如在输入量x_i和x_j的估计值和的协方差的估计值是由n对独立重复观测值X_ik，X_jk所得到等，按统计方法给出的式子为:
    

　　很明显，只有上式右边的两个残差符号相同时，其积为正，而求和时有正值，导致协方差与相关系数估计值均为正，反之均为负。要用统计方法对此进行估计，则必须有n个仪器或计量标准。这作为一般实验室很难做到，也就是本文所提出的问题之一。
    此外，当出现相关时，对输出量Y的测量结果y的合成方差u_c²(y)，在JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》(以下简称《JJF1059》)给出了一个计算式(22)。它比不相关情况下的合成只多了一项。
    

　　

　　而这一项的协方差u(x_i，x_j)如果代之以相关系数的估计值
    

　　即可变成为:
    

    这就构成了《JJF1059》的式(25)。在式(25)下面，给出了当r(x_i,x_j)=+1的情况下，u_c(y)为由每个输入估计值x_i的标准不确定度u(x_i)产生的输出估计值y的标准不确定度分量u_i(y)=c_iu(x_i)的线性和。这里的问题是灵敏系数c_i是否应按u_i(y)的定义取绝对值。就像《JJF1059》式(19)的式中对u_i(y)所作的定义。这就是本文所提出的问题之二。
    《JJF1059》在讨论r≠0情况下的合成中，给出了唯一的例子:
    当标称值均为1kΩ的10个电阻器，用同一个值为R_s的标准电阻器校准时，设校准不确定度可忽略，检定证书给出的R_s的标准不确定度u(R_s)=0.10Ω。现将此10个电阻器用电阻可忽略的导线串联，构成标称值为10kΩ的参考电阻。
    在求R_ref的合成标准不确定度时，对电阻器来说r(R_i，R_j)=1，，u(x_i)=u(R_i)=u(R_s)，则
    

故得
    

    这个例题的解中，给出的r(R_i,R_j) =1显然不是按其定义，根据重复观测结果评定出来的，而只是按题意所提供的信息评定，即:校准导致的分散性可忽略，因而R_i的不确定度u(R_i)中不再包含有随机效应导致的分量而只有一个分量就是R_s的u(R_s)所导致的这一系统效应。从而R_s以1∶1的方式影响每个R_i的校准值。使R_i均以相同的量值偏大或偏小。这就是r=+1的依据，无疑这是可行的，也是对的。但是，如果对R_i校准过程中随机效应导致的分量u_rd(R_i)不能忽略不计，对u_c(R_ref)应如何评定？这就是本文拟讨论的问题之三。
    

二、关于相关系数

r为1的非统计方法估计与不确定度评定
    如果我们把《JJF1059》计算u_c²(y)的式子(25)简化一下，再用更为简单的符号以及设定只有两个输入量时:
    设:a=c₁u(x₁)
    b=c₂u(x₂)
    则式(25)成为:
    u_c²(y)=a²+b²+2abr如果r=0，就是x₁与x₂相互独立的情况下的不确定度传播律，即《JJF1059》中的式(18)和(19)。
    如果r=+1，则可得:
    u_c(y)=a+b
    把上式的右边称之为代数和较为妥当。因为我们在a与b的设定中，并未取c₁和c₂的绝对值而保留其原有正或负的符号。
    例如对有机化工产品中灰分的测定，样品中灰分含量的质量分数w按下式计算:
    w=(m₁-m₂)/m
    式中:m₁——坩埚加灰分的质量；m₂——坩埚质量；m——试样质量。
    m₁、m₂及m均用同一台自动显示电子天平测出。最大允许误差MPE=±5mg，设其重复性标准偏差s_r=4mg。
    如果测得m=50.000g；m₁=40.100g；m₂=40.000g。
    很明显，如果不考虑空气浮力、温度等导致的对测量结果分散性的影响(事实上，这种检测中的这类影响可忽略不计)，那么，他们的不确定度u(m)、u(m₁)和u(m₂)都各有两个分量，其一是天平示值的零修正Δm的标准不确定度u(Δm)=|MPE|×均匀分布的标准偏差转换系数b∶0.6=5mg×0.6=3mg；另一是s_r。
    针对其分子，灰分质量m₃来说，m₃=m₁-m₂=0.1g。m₃的不确定度由4个分量组成，其中，两个3mg与两个s_r=4mg。
    u(m₁)的两个分量，其灵敏系数均为+1；而u(m₂)的两个分量，其灵敏系数均为-1。由于m₁与m₂相差甚小，这里为0.1g，对于所用电子天平来说，他们是很邻近的两个示值，因而有理由认为40.100g与40.000g这两个值受相同示值误差的影响而同时偏大或偏小了同一个值，我们说m₁与m₂这两个输入量在估计值正相关而且r=+1。而它们的s_r由于来自随机效应而彼此独立。
    根据《JJF1059》前言中所表明的评定不确定度方法中，与分量如何分组无关的原则，我们可以把这两个r=+1的分量先行合成，其一为c₁u(m₁)=+1×3mg，另一为c₂u(m₂)=-1×3mg=-3mg，其代数和为零。剩下的两个分量4mg由于r=0而应按方和根计算为，这就是灰分m₃的测量结果0.1g的标准不确定度。即分子的标准不确定度，至于分母m=50.000g的不确定度u(m)则按彼此独立的两个分量4mg与3mg合成为
    

    以下采用分子m₃与分母m的相对标准不确定度按方和根来求w的相对合成标准不确定度u_crel(w):
    u_rel(m₃)=5.7mg/0.1g=5.7×10^-2
    u_rel(m)=5mg/50g=1×10^-4
    很明显u_crel(w)只决定于u_rel(m₃)为5.7×10^-2
    由于w=0.1g/50g=0.002=0.2%
    u_c(w)=u_crel(w)·w
    =5.7×10^-2×0.002=0.012%
    如按包含因子k=2给出扩展不确定度
    U=2×0.012%=0.024%
    测量结果给出:
    w=(0.200±0.024)%(k=2)
    可以看出，由于m₁与m₂的相关导致m₃的不确定度大为减小，这就是为什么来自于不同符号的灵敏系数在评定中不是取绝对值的原因。
    

三、相关系数

r既不能估计为+1或-1，又不能估计为零的不确定度评定
    在相关系数接近于+1或-1时，令其为+1或-1进行合成的评定是恰当的，但在有些情况下，既不能估计为+1或-1，而又不能估计输入量估计值彼此独立，即r=0，有的国家标准中(例如德国标准DIN1319-3:1996《单一被测量的不确定度评定》)建议给出r=+0.5或-0.5。
    例如:在使用天平测量某一质量Y=M时(这里Y作为输出量符号)，分别采用了两个标准砝码X₁=M₁和X₂=M₂(这里X₁与X₂作两个独立的输入量)，与之平衡而得出M=M₁+M₂，而质量M₁与M₂在事先是用同一个参考标准砝码(计量标准器)进行校准的，参考标准的质量X_q=M₀。
    如果在对M₁与M₂进行校准时，校准过程中的不确定度分量(随机效应导致的分散性)大大小于M₀的不确定度，则相关系数r(m₁,m₂)接近于+1，而导致:
    u(m₁，m₂)=u(m₁)u(m₂)
    而有
    u(m)=u(m₁)+u(m₂)
    而当对M₁和M₂进行校准时，校准过程中的不确定度分量远大于M₀的不确定度，即可设定相关系数r(m₁,m₂)接近于零，即相互独立从而导致
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)
    然而，在M₁与M₂的校准中，是否用了同一参考标准砝码不能肯定的情况下，也就是既有可能是同一个，也有可能是不同的参考标准砝码，则可估计相关系数
    r(m₁,m₂)=+0.5
    这时
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)+u(m₁)×u(m₂)
    设用两个标称值均为200g的砝码m₁与m₂组成质量m=400g，其数学模型
    m=m₁+m₂
    如m₁与m₂在校准中所用标准砝码质量m₀的标准不确定度u(m₀)=0.01g，设校准过程中出现的随机效应导致的分散性可忽略不计，则可认为m₁与m₂的校准值是强相关而可估计为r=+1，由于它们的灵敏系数c₁=c₂=+1，m的合成标准不确定度
    u_c(m)=u(m₁)+u(m₂)
    =2×0.01g
    =0.02g
    但如果对m₁和m₂校准时并非使用同一标准砝码而是各用了一个标准砝码，它们的标准不确定度相同，均为0.01g，这时，如仍可认为校准过程中导致的分散性可以忽略，则可以认为m₁与m₂的校准值彼此独立，即r=0，由于c₁=c₂=+1，输出量m的合成标准不确定度
    

    第三种情况是不能肯定m₁与m₂的校准是否用的是同一个标准m₀，还是分别各用了一个。这两种可能均存在，这时，应估计r=+0.5得
    

    根据以上的讨论和例子，当两个输入量估计值的标准不确定度绝对值相等且均为1的情况下，相关系数r=+1和r=+0.5，它们的灵敏系数符号相同和不相同的情况下，这一系统效应导致的不确定度分量的合成可给出为下表
    

    可以得出一个近似的结论:这类数学模型中当c₁=c₂的情况下，对r的评定为1或0.5，影响u_c(y)不大，但c₁=-c₂时，r的评定为1或0.5对u_c(y)有明显影响。
    与上述情况相仿，可以导出r=-1和-0.5的结果，从略。
    

四、随机效应导致的分散性不能忽略情况下输出量

Y估计值y合成标准不确定度的计算
    在本文开头“问题的提出”中问题之三的例中，设校准过程的不确定度u_rd(R_i)=0.2Ω，显然不能忽略，如果把10个R_i的不确定度u(R_i)的两个分量:u(R_s)与u_rd(R_i)先行合成:
    

    而串联后的电阻R_ref的合成标准不确定度u_c(R_ref)由这10个u(R_i)合成，这就出现了R_i之间相关系数的评定问题，从现有信息来考虑r不能是+1，但也不能是零。比较可靠的评定方法是不进行u(R_s)与u_rd(R_i)的合成而是按u_c(R_ref)有20个分量。其中10个u(R_s)=0.1Ω，它们之间属于r=+1的相关。另10个u_rd(R_i)属于随机效应导致的分散性而相互独立，按r=0进行合成。也就是把系统效应导致的分散性与随机效应导致的分散性分别先行合成，得到
    来自R_s的10个合成为:10×0.1Ω=1.0Ω；
    来自校准过程的10个合成为:
    

    这两部分间彼此独立而可按方合根得出