辽宁省盘锦市计量测试所  杨晨松

　　GUM中及JJF1059—1999中对函数数学模型都有较为具体的说明。而数学模型的建立，在测量不确定度的分析评定中占有首要位置。所谓数学模型就是用数学语言给出的物理量之间的关系。测量的数学模型就是指得到被测量Y所列的数学计算式。    

　　一、由于实验测量手段、测量过程的差异，同一被测量其数学模型(函数形式)会有不同的表现形式

    例如:当我们选用了天平、砝码和已知密度ρ₀的液体，测量一个球体的密度ρ。
    方法一:两次称重法。分别在空气及液体中对球体进行称重m=ρV；m′=ρ₀V(V——球体积、m——球体空气中质量、m′———球体液体中质量)。合并以上两式:
    方法二:测球体积法。利用流体静力学阿基米德定理测得V，用天平测出质量m，得到被测量ρ=m/v
    在实践中采取哪种函数型式能取得被测量的更小的不确定度，则依据所采用的测量方法和实验条件而定。
    

　　二、在建立合理的数学模型后，就可以对各输入量进行分析和合成了

    一种情况输入量x₁、x₂、……、x_n与输出量Y间的关系是:Y=a₁ x₁+a₂ x₂+……+a_n x_n，这种函数关系称为线性函数，例如一维坐标上两点间距S_AB=X₂-X₁；等臂天平上砝码称重W=g₁+g₂+……+g_w等都属此类。其特点是输入量各项指数均为正1，而各项系数可正可负。另一种情况，当函数关系式中输入量相乘、相除或指数不为1时，称为非线性函数。例如通过圆的直径的测量得到圆的面积:S=π(D/2)²；在自由落体中，通过起始与终点的时间间隔测量得到下落距离等都属此类。
    自由落体运动(不计空气阻力)通过测始末时间间隔t，求下落距离S的最佳估值。这是一个非线性函数，求被测量的最佳估值。
    
    
    不难证明:
    
    或者说S≠S′
    在数学中我们知道第一种方法得到的S更为准确。也就是说对非线性函数而言，先分别求出输出量的值再将输出量的值取算术平均值的算法更具有优越性。
    以两块砝码求和为例，设标准不确定度μ(m₁)=μ(m₂)=0.5g，m₁=m₂=500g，输出量m=m₁+m₂=1000g的不确定度μ(m)=[μ²(m₁)+μ²(m₂)]^0.5=0.71g；相对标准不确定度μ_REL(m)=μ(m)/1000=0.7×10^-3。
    换一种方法求μ_REL(m)，因为μ_REL(m₁)=μ_REL(m₂)=1×10^-3，若直接采用方和根法，得μ′_REL(m)=[(m₁)+(m₂)]^0.5=1.4×10^-3。可见μ′_REL(m)比μ_REL(m)大了近一倍，由此得出结论在用输入量的相对标准不确定度合成输出量的相对标准不确定度时一定要慎重。除非输入量与输出量的相对标准不确定度有同一个分母(例如化学分析中的浓度不确定度)，并且他们表示的含义一致，否则不能用方和根法直接合成。我们再举一例，说一下在实际工作中常犯的错误。
    例:用两块S级的电压表V₁、V₂(量程分别为X₁，X₂)测量电路中串联两电阻R₁、R₂(R₁≠R₂)的电压V_AC=V_AB+V_BC。求V_AC的相对标准不确定度。
    

    很多实验者是这样分析的:用两块表V₁、V₂测得电压V_AB、V_BC的相对不确定度分别为:μ_REL(V_AB)=μ(V₁)/V_AB；μ_REL(V_BC)=μ(V₂)/V_BC。而μ(V₁)=(SX₁%)/ ；μ(V₂)=(SX₂%)/ ，则输出量V_AC的相对标准不确定度μ_REL(V_AC)=((V_AB)+(V_BC))^0.5=[(X₁ /V_AB)²+(X₂ /V_BC)²]^0.5，这个结果是错误的。在指示性仪表中的引用误差是不能直接用来合成相对标准不确定度的。正确的算法应是:先求出V₁、V₂的标准不确定度分量μ(V₁)=(SX₁%)/；μ(V₂)=(SX₂%)/，合成输出量μ(V_AC)；最后求V_AC的相对标准不确定度:μ_REL(V_AC)=μ(V_AC)/(V_AB+V_BC)=/V_AC
    对数学模型进行不确定度分析时:(1)无论对线性函数还是非线性函数均应先求出每次测量单列输入量所对应的各输出量的值，再对各输出量的值求算术平均值得到最佳估值，采用这种算法可靠性最高；(2)输入分量的不确定度无论以怎样的形式给出，最好化成标准不确定度一种形式来合成输出量的标准不确定度，进而合成相对标准不确定度，这样做可避免概念运用的失误。