计量培训：测量不确定度表述讲座
国家质量技术监督局  李慎安

　　7.1  合成标准不确定u_c的定义如何理解？
　　合成标准不确定度无例外地用标准偏差给出，其符号u以小写正体c作为下角标；如给出的为相对标准不确定度，则应另加正体小写下角标rel，成为u_crel。按《JJF1001》定义为:当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度。如各量彼此独立，则协方差为零；如不为零(相关情况下)，则必须加进去。
　　上述定义可以理解为:当测量结果的标准不确定度由若干标准不确定度分量构成时，按方和根(必要时加协方差)得到的标准不确定度。有时它可以指某一台测量仪器，也可以指一套测量系统或测量设备所复现的量值。在某个量的不确定度只以一个分量为主，其他分量可忽略不计的情况下，显然就无所谓合成标准不确定度了。

　　7.2  什么是输入量、输出量？
　　在间接测量中，被测量Y不能直接测量，而是通过若干个别的可以直接测量的量或是可以通过资料查出其值的量，按一定的函数关系得出:
　　Y=f(X₁，X₂，…，X_n)
　　其中X_i为输入量，而把Y称之为输出量。
　　例如:被测量为一个立方体的体积V，通过其长l、宽b和高h三个量的测量结果，按函数关系V=l·b·h计算，则l，b，h为输入量，V为输出量。

　　7.3  什么叫作线性合成？
　　例如在测量误差的合成计算中，其各个误差分量，不论是随机误差分量还是系统误差分量，当合成为测量误差时，所有这些分量按代数和相加。这种合成的方法称为线性合成。
　　不确定度的各个分量如彼此独立，则恒用方和根的方式合成。但如果其中某两个分量彼此强相关，且相关系数r=+1，则合成时是代数相加，即线性合成而非方和根合成。

　　7.4  什么叫灵敏系数？
　　当输出量Y的估计值y与输入量X_i的估计值x₁，x₂，…x_n之间有
　　y=f(x₁，x₂…，x_n)的函数关系时，在不确定度的传播中，把偏导数，=c_i称为灵敏系数，它定量地给出了输入量x_i，与输出量y之间的相互变化关系之比值。它本身也是个量值，有数值和量纲，往往其量纲并非1，而是有测量单位的，这种情况下不能将它按纯数对待。
　　偏导数应该是在代入输入量的估计值时作出评定，即在X_i=x_i时评定的。
　　
　　它描述了输入估计值x_i的微小变化△x_i，引起y的变化(△y)_i=△x_i。如果这个变化是由估计值x_i的标准不确定度u(x_i)所引起，则y相应的变化为u(x_i)。因此，合成方差可以看作各项方差之和，而每一项代表了由每个输入估计值x_i相关联之估计方差产生的输出估计值y的估计方差。也就是:
　　式中:
　　c_i=，u_i(y)=|c_i|u_i(x_i)
　　以下给出几种比较简单而又较常见的函数关系的灵敏系数:
　　(a)y=Ax₁+Bx₂
　　c₁=A；c₂=B
　　(b)y=1/x
　　c=-(1/x²)
　　(c)y=x₁/(x₁+x₂)
　　c₁=x₂/(x₁+x₂)²
　　c₂=-x₁/(x₁+x₂)²
　　(d)y=x/(1+x)
　　c=1/(1+x)²
　　(e)y=x₁x₂
　　c₁=x₂，c₁=x₁
　　(f)y=x²
　　c=2x
　　(g)y=x^1/2
　　c=1/2(2x^1/2)
　　
　　
　　以上A，B，a，b，k可以是负数或分数或等于1。
　　当用实验方法求灵敏系数时，特别是在y与x_i之间不存在简单函数关系时，可以通过将其余输入量保持不变，仅变化第i个x_i，设变化量为△x_i，由此而导致的y的变化设为△y，则c_i=△y/△x_i。但也可通过函数关系计算出△y。
　　输入量X_i的不确定度u(x_i)只有在乘了相应的灵敏系数c_i之后，才是输出量Y的不确定度u(y)的一个分量u_i(y)。它们也才会有相同的量纲。

　　7.5  在线性函数关系中输入量的相对标准不确定度u_rel(x_i)是否可以也按方和根合成为输出量Y的相对标准不确定度u_rel(y)？
    在输入量X₁，X₂，…，X_N彼此独立的情况下，如果它们与输出量Y的函数关系是线性的，例如最简的一种情况:
    Y=X₁+X₂
若已知u_rel(x₁)与u_rel(x₂)，是不能按方和根计算Y的相对标准不确定度u_rel(y)的。例如:由两个500g的砝码相加，组成为输出量1000g。每个500g砝码的标准不确定度u(x₁)=u(x₂)=0.5g，则这输出量1000g的不确定度实际上u(y)===0.71g。对1000g来说，其相对标准不确定度应为u_rel(y)=0.71g/1000g≈0.7×10^-3。但如果用相对不确定度来合成，u_rel(x₁)=u_rel(x₂)=0.5g/500g=1×10^-3，它们未合成前已大于u_rel(y)。显然是不合理的。
    有些情况下，例如在化学分析中，在给定浓度下的某些不确定度的分量，这些分量的相对标准不确定度均是除以某个相同的分母，而输出量的相对标准不确定度也是这同一个分母，这时是可以采用方和根来合成相对标准不确定度的。
    必须注意，尽管相对标准不确定度u_rel(x_i)都无例外地是无量纲量，它们都用纯数给出，但是这些纯数并不都是无条件地可以相对减或是进行方和根运算的。因为这些数都是量值，而且往往是不同定义的量值。
    也往往在这种相互独立的线性函数中，输入量X₁与X₂按B类方法评定时，一开始就是给出的相对标准不确定度u_rel(x₁)和u_rel(x₂)，例如通过测量仪器引用误差评定的结果。那么，由于分母不同(输出量与输入量)，也是不能采用方和根得出输出量的相对合成标准不确定度u_crel(y)的。在这种情况下，必须先把u_rel(x₁)与u_rel(x₂)算成标准不确定度u(x₁)与u(x₂)后再合成为u_c(y)；如这时要求给出u_crel(y)，即可将u_c(y)除以y。这是当前极易被忽略的问题之一。
    7.6  当输入量X_i与输出量Y之间的函数关系为Y=f(X₁，X₂，…，X_N)=……时，是否也应按先算出灵敏系数c_i通过=[c_iu(x_i)]²=(y)合成？
    可以这样合成，但不一定要如此复杂。采用这种方法需要麻烦的偏导数。更为简单的办法是采用输入量的相对标准不确定度u_rel(x_i)=u(x_i)/x_i>乘以其相应的x_i的指数p_i，即p_iu(x_i)/x_i，进行简单的平方和得到输出量Y的相对合成方差，即
    

如果我们要求得到u_c(y)而不是u_-crel(y)，则可将得到的u_crel(y)乘以y即可。这是一种完全等效的计算方法。
    例如通过物体质量m与其运动速度v的测量，求该物体的动能E_k。它们之间的函数关系式(称测量模型)是:
    E_k=(1/2)mv²
    设输入量m的标准不确定度为u(m)=lg，而m的最佳估计为1kg，速度v的量佳估计为100m/s，其标准不确定度u(v)=0.1m/s，求输出量E_k的标准不确定度u(E_k)。这时，不必去求偏导数得出灵敏系数，而是求输入量的相对标准不确定度u_rel(m)=u(m)/m=lg/1kg=1×10^-3，u_rel(v)=u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=1×10^-3，m的指数为1，v的指数为2，则=(1×10^-3)²+(2×1×10^-3)²=5×10^-6，故u_rel(E_k)≈2.2×10^-3
    而u(E_k)=2.2×10^-3×(1/2)×1kg×(100m/s)²
    =2.2×10^-3×0.5×10⁴kg·m²/s²
    =11kg·m²/s²=11J
    如果p_i，只是正1或负1，则在这一情况下:
    

    这就是说:在这种情况下估计值y的相对合成标准不确定度，等于输入估计值x_i的相对标准不确定度的方和根。举例如下:
    设以盐酸作为标准滴定溶液，用以测量某样品中所含氢氧化钾的质量分数W(KOH)，标准溶液的浓度c(HCl)=0.2(1±10^-3)mol/L(k=2)，则其标准不确定度u_rel[c(HCl)]=(1/2)×1×10^-3=0.5×10^-3。滴定终点消耗50mL，按所用的B级滴定管△=±0.6%(△为最大允许误差)，由于通过两次读数之差得出，按正态分布考虑，取包含因子k=3，得消耗体积V的相对标准不确定度u_rel(V)=(1/3)×0.6%×=0.28×10^-2。氢氧化钾的相对摩尔质量来自国际1995年公布的相对原子质量表，其不确定度大大小于10^-5，可忽略不计，其值M_r(KOH)=56.10024，在本例计算中可取近似为56.10，其修约导致的不确定度即可忽略。样品质量m=10g，按所用天平和砝码的相对扩展不确定度U_rel(m)=3×10^-4，包含因子k=3，得其相对标准不确定度为u_rel(m)=1×10^-4。计算方程(测量模型)为:
    W(KOH)=f(V(HCl)，c(HCl)，M(KOH)，m)
        =(V(HCl)×c(HCl)×M(KOH))/m
代入输出量的估计值得:
    W(KOH)=56.1×10^-3
其相对标准不确定度u_rel[W(KOH)]，可按u_rel(V)，u_rel(c)，u_rel(m)按方和根得出为:
    u_rel[W(KOH)]=
    
    =0.29×10^-2
如要求给出u[W(KOH)]，则再乘以W(KOH)的估计值:
    56.1×10^-3×0.29×10^-2=17×10_-5
    本例所讨论的计算方法，提供了不需求灵敏系数对合成标准不确定度的计算。
    7.7  当输入量X_i之间出现了两个或两个以上的量x_i明显相关时，是否可以不去计算协方差或是相关系数进行合成标准不确定度的计算？
    在《JJF1059》中只提到协方差与相关系数的A类评定方法，将它与其他分量的方差相加进行合成。实际工作中，特别是在计量学领域，采用A类评定是十分复杂的。我们可以按经验，把输入量x_i中强相关的那些分量(u(x_i)等也是由若干分量合成的，其中既有与其他输入量强相关的分量，也有相互独立的分量)，按强相关(r=+1)先行单独合成作为输出量不确定度u(y)的一个分量，然后把不相关的那些分量按彼此独立合成为u(y)的第二个分量，最后将此两分量按彼此独立来进行合成(参阅本讲座6.18)。
    例如:在《JJF1059》合成标准不确定度u_c(y)的评定中，给过一个例子，当标称值为1kΩ的10个电阻器，用1个值为R_s的标准电阻器校准，设校准过程中的不确定度远小于R_s的标准不确定度u(R_s)而忽略不计，校准证书给出u(R_s)=0.10Ω。现将此10个电阻器用电阻可忽略的导线串联构成一个10kΩ的参考电阻，其R_ref= f(R_i)=R_i(线性相加)。《JJF1059》中给出的电阻器的相关系数为r(R_i，R_j)=1，并不可能是按A类评定的，因为不存在多个标准器分别对这10个电阻器进行校准。这里的r(R_i，R_j)是按经验得出的。通过经验，当两个(或多个)输入量使用了同一个标准器或同一台测量仪器时，或使用了相同的参考数据，则它们之间存在极大的正相关。10个电阻器的校准正是这种情况。在r=+1的情况下，
    即线性相加，因而，所构成的10kΩ的R_ref的合成标准不确定度
    u_c(R_ref)=u(R_i)
    =10×0.10Ω=1.0Ω
    但是，如果校准过程中带来的不确定度并非可忽略不计，例如在对这10个中每个电阻器校准过程中的标准不确定度为0.5Ω，10个这样的分量彼此独立，大小也一样，合成起来就是0.5Ω×=1.6Ω。它应按方和根与前面相关部分合成的1.0Ω合成的u(R_ref)==1.9Ω。
    7.8  合成标准不确定度u_c(y)的自由度计算中应注意什么问题？
    合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，符号为v_eff输出量估计值y不确定度的各个分量u_i(y)的自由度不论是采用A、B两类中的何种方法评定出的，u_i(y)的自由度与u(x_i)的自由度相同。不因为u(x_i)乘灵敏系数c_i之后而改变。计算式
    用于按u_i(y)计算的情况。如有相关项，协方差只出现在合成前u_c(y)的计算之中，在分母中不再出现。
    当用相对标准不确定度分量u_rel(x_i)合成时，u_crel(y)的有效自由度只按下式计算:
    

式中，p_i为x_i的指数，参阅7.6。